Векторное произведение векторов и его свойства

Def. Три некомпланарных вектора , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки (и левую, если по часовой)

Def. Векторным произведением векторов называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

- его модуль вычисляется по формуле:

, (4.17)

где y - угол между векторами ;

- вектор перпендикулярен плоскости, определяемой перемножаемыми векторами ();

- векторы и образуют правую тройку векторов (направление вектора векторного произведения определяется по правилу «буравчика» (штопора): если вращать рукоятку буравчика в направлении от , то буравчик будет двигаться в направлении вектора )

Выражение векторного произведения в координатной форме: если векторы заданы в координатной форме: , , то координаты вектора их векторного произведения определяются из формулы:

(4.18)

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке местами сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (т.е. векторное произведение не обладает свойством переместительности):

2. - сочетательное свойство относительно скалярного множителя (постоянный множитель можно вынести за знак векторного произведения);

3. Распределительное свойство: ;

Некоторые приложения векторного произведения:

1. Условие коллинеарности двух ненулевых векторов и имеет вид:

(если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору, и обратно, если векторное произведение ненулевых векторов равно нулевому вектору, то они коллинеарны).

2. Геометрические приложения векторного произведения:

а) площадь параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах, определяется как модуль их векторного произведения:

(4.19)