Необходимые условия геометрической неизменяемости и статической определимости плоских ферм

Обозначим через  число узлов фермы, через  − количество стержней и через  − число опорных связей.

Ферму можно рассматривать как совокупность узлов, на которые наложены связи в виде стержней. Каждый узел на плоскости имеет две степени свободы. Совокупность узлов – 2  степеней свободы. Каждый стержень, связывающий между собой два узла, накладывает на систему одну связь. Чтобы ферма была неизменяема и неподвижна, количество наложенных связей с учётом опорных должно быть равно числу степеней свободы, которым обладали бы не связанные между собой узлы:

.                                             (1.1)

Если плоская ферма не прикреплена к опорам, то как неизменяемая система она должна обладать в плоскости тремя степенями свободы. Тогда число стержней, обеспечивающее взаимную неподвижность узлов, будет равно:

.                                               (1.2)

Зависимости (1.1) и (1.2) определяют минимально необходимое число стержней, которые могут обеспечить взаимную неподвижность узлов, и выражают необходимые условия геометрической неизменяемости ферм.

Рисунок 1.12

Вырежем мысленно из плоской фермы узел, как показано на рисунке 1.12. Через ,  и т.д. здесь обозначены усилия в стержнях, сходящихся в узле. Для узла можно составить 2 уравнения равновесия, спроектировав все силы на оси  и :

, .

Уравнение  удовлетворяется тождественно, так как оси всех стержней и направление внешней нагрузки проходят через одну точку − ось шарнира. Для плоской фермы, имеющей  узлов, общее число уравнений равновесия будет равно .

В случае неподвижной системы число стержней с учётом опорных, в которых можно из уравнений статики определить усилия, равно:

.                                             (1.3)

Если ферма не прикреплена к опорам, то нужно затратить три уравнения равновесия на уравновешивание внешней нагрузки. Число стержней, в которых уравнения статики позволяют найти усилия, будет теперь равно:

.                                               (1.4)

Равенствами (1.3) и (1.4) устанавливаются необходимые условия статической определимости ферм. Нетрудно заметить, что они совпадают с необходимыми условиями геометрической неизменяемости (1.1) и (1.2). Правда, здесь имеется одно принципиальное различие. Чтобы ферма могла быть статически определимой, условия (1.3) и (1.4) должны строго выполняться. А геометрически неизменяемыми стержневые системы могут быть и в том случае, когда число стержней превышает минимально необходимое, определяемое условиями (1.1) и (1.2).

Можно доказать следующую теорему. Всякая геометрически неизменяемая ферма, имеющая минимально необходимое число стержней, статически определима. Обратно, статически определимая стержневая система геометрически неизменяема. Отсюда следует, что если при минимально необходимом числе стержней система оказывается статически неопределимой, то она геометрически изменяема, т.е. некоторые стержни ориентированы неправильно.

Таким образом, чтобы доказать геометрическую неизменяемость стержневой системы, достаточно показать, что она статически определима.