Таким образом, чтобы найти скалярное произведение векторов, зная их координаты в произвольном базисе, надо знать еще длины базисных векторов и углы между ними

3 4 5 6 7 8 9

ЗАМЕЧАНИЕ Во всех задачах этого пункта будем считать, что дан ортонормированный базис

47. а (1,-1,3), в( 2,4,-5), с (1,-2,1). Найти: 1) а в, 2) | с |, 3) Соs (в, с).

4) (а + в + 5 с) · ( 2 в -4 с), 5) (а – в) · (с – а).

48.В параллелограмме АВСД АВ (-8,0,6), ДА (-3,-4,0). Найти ВАД.

49. Найти косинусы углов, образованных вектором а (5, - , 3)

с базисными векторами i, j, k.

50. Дан тетраэдр АВСД. АВ (1,4,1), АС (2,-3,-2), АД (0,5,0). Найти Соs ВАМ, где М – середина СД.

51. МАВСД – четырехугольная пирамида, основание которой – параллелограмм АВСД. К и Р – середины сторон АВ и ВС. ВА (6,0,-4), ВС (4,4,10), ВМ (1,-2,3). Найти 1) | АС |, 2) Соs КМР.

52. В пространственном четырехугольнике АВСД АВ (1,6,-2), ВС (5,3,-1), СД (1,-7,1). Доказать, что диагонали четырехугольника перпендикуляры.

53. Дан четырехугольник АВСД. АВ (6,0,-8), ВС (0,10,0), СД (-6,0,8). Доказать, что этот четырехугольник является квадратом.

54. Найти длину медианы АМ треугольника АВС и угол АМВ, если АВ (1,-1,2), АС (3,5,-4).

55. Объяснить, почему для любых векторов а, в, с не выполняется равенство (а в) с = а (в с)? Найти все векторы а, в, с д ля которых это равенство выполняется.

ЗАДАЧА № 11

АД – биссектриса треугольника АВС. Выразить вектор АД через векторы АВ и АС.

РЕШЕНИЕ.

1) АД = АВ + ВД = АВ + х ВС = АВ + х (АС – АВ) или

АД = АВ + х (АС - АВ) (1)

2) Найдем коэффициент х, для которого ВД = х ВС. Так как векторы

ВД и ВС сонаправлены, то коэффициент х положителен. Из определения произведения вектора на число получим, что | ВД | =│х│ | ВС | = х | ВС |, а отсюда следует, что

х = (2)

3) Так как АД – биссектриса треугольника АВС, то по свойству биссектрисы треугольника получаем, что

= (3)

= = - 1 или

= + 1 (4)

Из (3) и (4) следует, что = + 1 = , отсюда и из (2) получаем, что х = . Поставляем это значение х в (1) и получаем

АД = АВ + . (АС - АВ) = (1 - ) АВ + АС или

АД = АВ + АС (5)

ОТВЕТ. Если АД - биссектриса треугольника АВС, то

АД = АВ + АС.

ЗАДАЧА № 12

АН – высота треугольника АВС. Выразить вектор АН через векторы АВ и АС.

РЕШЕНИЕ.

1) АН = АВ + ВН = АВ + х ВС = АВ + х (АС – АВ) или

АН = АВ + х (АС - АВ) (1)

2) Найдем коэффициент х, для которого ВН = х ВС.

Так какАН – высота треугольника АВС, то АН ВС, значит АН ВС, поэтому скалярное произведение АН ВС = 0. Подставим в это соотношение вместо АН его выражение из (1), получим

[ АВ + х (АС - АВ) ] ВС = 0, по свойству скалярного произведения можно раскрыть квадратные скобки АВ ВС + х (АС - АВ) ВС = 0, отсюда

АВ ВС АВ(АС-АВ)

х = ------------------- или х = - ----------------- (2)

(АС – АВ) ВС (АС _ АВ)²

Подставим это значение х в формулу (1), получим

АВ(АС-АВ)

АН = АВ - ---------------- (АС – АВ) (3)

(АС – АВ)²

ОТВЕТ. Если АН –высота треугольника АВС, ТО

АВ(АС –АВ)

АН = АВ - ----------------- (АС – АВ)

(АС – АВ)²

ЗАМЕЧАНИЕ.

1) Если вам хочется упростить формулу (2), то этого делать нельзя, т.к если числитель и знаменатель дроби есть скалярные произведения а в и в в, то это числа, равные произведению длин векторов на косинус угла между ними, кроме того в векторной алгебре нет действия деления вектор на вектор.