Векторы двумерного подространства

     Двумерное векторное подпространство – это множество всех векторов, параллельных одной плоскости. Базис двумерного векторного подпространства состоит из двух неколлинеарных векторов { е₁, е₂ }. Базис называется ортонормированным, если длины всех базисных векторов равны единицы, и базисные векторы перпендикулярны. Ортонормированный базис обозначается так: { i, j }

Координатами вектора m в данном базисе называются коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, т.е. если m = х е₁ + у е₂, то числи х и у это координаты вектора m, в этом случае будем записывать

m(х, у).

Имеет место теорема о координатах линейной комбинации:

Если вектор m = x а + y b   и   а (а₁,а₂), b (b₁,b₂)    m (m₁,m₂)

m₁ =x a₁ + y b₁, m₂ =x a₂ + y b₂.

           Если известны координаты векторов а и b в ортонормированном базисе { i, j } а(а₁,а₂), b(b₁,b₂), то имеют место формулы

                                                               _______

       a b = а₁ b₁ + а₂  b₂,      │ а │= √а₁² + а₂²

                                                      ______ а₁ b₁ + а₂  b₂___

                          cos (а, b ) = √а₁² + а₂² √b₁² + b₂²

  66. В правильном шестиугольнике АВСДEF векторы АВ= е₁, АЕ = е₂ выбраны в качестве базисных, Найти координаты векторов АС, АД, АF, EF.

67. В ромбе АВСД векторы АС= е₁, ВД = е₂ выбраны в качестве базисных. Найти координаты векторов АВ, ВС ДА.

68. В треугольнике АВС М, Р, К середины АВ, ВС, СА. Прямые ВК и МР пересекаются в точке О

 а) Найти координаты векторов СМ, ОВ, КМ, СВ, РС, АР в базисе ОС = е₁, ОМ = е₂.

б) Найти координаты векторов СМ, ОВ, КМ, СВ, РС, АР в базисе КС = е₁,

КР = е₂.

69. На плоскости даны векторы а (2,1), в (1,0). Найти коэффициенты разложения вектора с (9,1) по векторам а и в.

70. Даны векторы а (3,-2), в (-2,1), с (-9,6).Можно ли каждый из этих векторв разложить по двум другим?

71. Даны векторы а (3,-1), в(1,-2), с (-1,7) Определить коэффициенты разложения вектора р = а + в + с по векторам а и в.

72.. Даны векторы а (2,3), в (1,-3), с (-1,3). Существует ли коэффициент х, для которого векторы а + х в и а + 2 с коллинеарны?

73. В треугольнике АВС АВ (1,3), АС (2,1). АМ₁, ВМ₂, СМ₃ – медианы треугольника АВС, определить координаты этих трех векторов, АМ₁, ВМ₂, СМ₃

74. Даны векторы. а (-1,-2), в(3,-5), с (4,-3). Существует ли треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны по длине данным векторам?

75. Дан базис i, j. Найти координаты векторов а и в, если а)| а | =3,

(i,а) = 30 °, б)| в | =5, (i,в) = 135 °.

      76. Дан ортонормированный базис. а (1,0), в (2,2), с (4,-4). Найти углы между парами этих векторов.

77. АМ – медиана треугольника АВС. Найти длину ВМ и угол АМС, зная координаты АВ (4,6), АС (8,-4) в ортонормированном базисе.

78. АН – высота треугольника АВС. Найти длину АН, зная координаты АВ (1,-1) и АС (-2,1) в ортонормированном базисе.

79. Дан базис (е₁, е₂). Зная координаты векторов а(а₁,а₂) и в (в₁,в₂), длины базисных векторов и угол между базисными векторами., найти скалярное произведение а в.

80. В треугольнике АВС А = 120 °,  |АВ|= 2,   |АС|= 1. Найти длину высоты АН.

81. В треугольнике АВС А = 90 °,  |АВ|= 2,   |АС|= 3. Найти длину биссектрисы АД.