Нахождение координат вектора в данном базисе

ЗАДАЧА № 8

В параллелепипеде АВСДА₁В₁С₁Д₁ К – середина ребра АА₁, точка М лежит на ребре ВС и ВМ = 2/3 ВС, О = А₁С₁   В₁Д₁. Найти координаты вектора ДО в базисе (ВК, ВА, ВМ).

РЕШЕНИЕ

Так как координаты вектора в данном базисе это коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, то данную задачу можно сформулировать так: выразить вектор ДО через векторы   ВК, ВА, ВМ, поэтому будем действовать так же, как при решении задачи № 3.

1) ДО = ДД₁ + Д₁О = АА₁ + ½ Д₁В₁ = 2 АК + ½ ДВ. Т.е.

ДО = 2 АК + ½ ДВ. (1).   

2) Выразим вектор АК через базисные векторы.

АК = АВ + ВК = -ВА + ВК (2)

3) Выразим вектор ДВ через базисные векторы.

ДВ = ДА + АВ = СВ + АВ = -3/2 ВМ – ВА  (3)

4) Подставим (2) и (3) в (1), получим

ДО = 2(-ВА + ВК) + ½ (-3/2 ВМ – ВА) = 2 ВК – 5/2 ВА – 3/4 ВМ

Следовательно, первая координата вектора ДО равна 2, вторая координата равна -5/2. третья координата равна -3/4, т.е. ДО (2, -5/2, -3/4). 

ОТВЕТ.   ДО (2, -5/2, -3/4)

33. АВСД – тетраэдр. М и К – точки пересечения медиан граней ВСД и АДС, N – середина АВ, Р  ВС и ВР: РС = 1: 2. Найти координаты векторов АМ, NР, КР, NМ в базисе (АВ, АС, АД).

34. АВСД – тетраэдр. N и К середины ребер ВС и АС.  Найти координаты векторов АД и СА в базисе (ДВ, Д N, ДК).

35. В тетраэдре АВСД М- середина ВС, а N – точка пересечения медиан грани АДС. Найти координаты векторов ДС и ВN в базисе (АВ, АД, АМ).

36. В тетраэдре АВСД N - середина ВС, а М – точка пересечения медиан грани ВСД. Найти координаты векторов С N и МК в базисе (АМ, АВ, АД).

37.АВСДА₁В₁С₁Д₁ – параллелепипед. А₁С₁  В1Д1 = М, К – середина ДД1, Р ВС и ВР = 2/3 ВС. Найти координаты векторов ВК, МС, А₁Р в базисе (АВ, АД, АД₁) 

38. АВСД А₁В₁С₁Д₁ – параллелепипед. АС  ВД = М.  Найти координаты векторов В1С  и АС1,  в базисе (Д₁М, Д₁Д, Д₁А).

39. АВСД А₁В₁С₁Д₁ – параллелепипед. А₁С₁  В1Д₁ = М.Найти координаты векторов ДС, Д₁В, С₁А в базисе (МА, МВ, МС).

40.  SАВСД – правильная четырехугольная пирамида с основание АВС Д.  К SА и SК = 1/3 SА,  N – середина   SС,  АС  ВД = М. Найти координаты векторов СР и А N в базисе (SК, SД, SМ).

41. SАВСД – правильная четырехугольная пирамида с основание АВС Д.   АС  ВД = М, О – середина SМ, N – точка пересечения медиан грани ВСS.  Найти координаты вектора Д N в базисе (АS, АО, АВ)