Ориентация плоскости. Угол между векторами на ориентированной плоскости

В двумерном векторном подпространстве Ẁ₂ даны два базиса

 I = { е₁, е₂ } и II = { е₁^’, е₂^’ }. Известны координаты базисных векторов второго базиса в первом базисе: е₁^’ (а,b)_I, е₂^’ (c,d) _I. Определителем перехода от базиса I ={ е₁, е₂ } к базису II ={ е₁^’, е₂^’ } называется определитель ∆, составленный из координат векторов е₁^’, е₂^’

  в базисе е₁, е_2.

    │ а b │

∆ =    │c d│.

  Определитель перехода от базиса I ={ е₁, е₂ } к базису II ={ е₁^’, е₂^’ } будем обозначать так: I / II.

Пусть даны любые три базиса I, II, III. Определители перехода обладают следующими свойствами:

1°) I / II 0,

2°) I / I = 1,

3°) I / II = 1: (II / I),

4°) (I / II) (II / III) = I / III.

 Множество всех базисов двумерного векторного подпространства Ẁ ₂    разбивается на два непустых непересекающихся подмножества так, что для любых двух базисов из одного подмножества определитель перехода от одного из этих базисов к другому положителен, а для любых двух базисов из разных подмножеств определитель перехода от одного из этих базисов к другом отрицателен. Каждое из этих подмножеств называется ориентацией   двумерного векторного подпространства.   Двумерное векторное подпространство называется ориентированным, если зафиксирована одна из его ориентацией и названа положительной, а все базисы из неё правыми, тогда вторая ориентация называется отрицательной, а все базисы из неё левыми.

Если на плоскости выбрать две точки О₁ и О₂ и отложить от О₁ векторы О₁Е₁ = е₁ и О₁Е₂ = е₂ , а отО₂ векторы О₂Е₁’ = е₁’  и О₂Е₂’ = е₂’, то если данные базисы принадлежат одной ориентации, то повороты от вектора О₁Е₁ к вектору О₁Е₂ и от вектора О₂Е₁’ к вектору О₂Е₂’ происходят в одном направлении, а если базисы принадлежат разным ориентациям, то эти повороты происходят в разных направлениях.

 

Рис 1.

На рисунке 1 изображены базисы из одной ориентации

Рис. 2

На рисунке 2. изображены базисы из разных ориентаций.

Плоскость называется ориентированной, если соответствующее векторное двумерное подпространство (т.е. множество всех векторов, параллельных этой плоскости) ориентировано. Тогда, если базис е₁, е₂ – правые (левый), то и система координат (О, е₁, е₂) правая (левая).

Направленным углом между неколлинеарными векторами а и b на ориентированной плоскости называется угол между этими векторами, взятый со знаком плюс, если базис { а, b } - правый и со знаком минус, если базис { а, b }  – левый.

Если в правом ортонормированном базисе даны координаты векторов а (а₁, а₂) и b (b₁,b₂) и φ – направленный угол между ними, то

            ___ а₁b₁ + a₂b_{2_____}       

cos φ = √a₁² + a₂² √b₁² + b₂²  ,

            ___ а₁b₂ - a₂b_{1_____}  

 sin φ = √a₁² + a₂² √b₁² + b₂²    

 

122. М – точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСД. Базис { АВ, АС }  принадлежит положительной ориентации. Какой ориентации принадлежат базисы 1) { ДА, ДС },  2) { МА, МВ }, 3) { ВА, ВС }?

  123. О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Базис { ОА, ОВ } – правый. Перечислить все правые и все левые базисы, связанные с этим треугольником.

124. Дан базис { е₁, е₂ } и векторы а (1,-1), в (2,3), с (0,4), d( -5,1)

Вычислить определители перехода 1) от базиса { е₁, е₂ } к базису { а,в },

2) от базиса { а,в } к базису { с,d }.

125. Зная координаты векторов а и в в правом базисе { е₁, е₂ }, определить является ли базис { а, в } правым или левым

1) а (2,3), в (4,-1). 2) а (-1,0), в (0,-1), 3) а (3,1), в (2,1) 4) а (2,8), в(3,-2).

126. Дан квадрат АВСД и базисы Ι = { СВ, СД }, Ι Ι = { ВД, ВС },

Ι Ι Ι = { ДС, ДА }. Вычислить определители перехода от базиса Ι к базису

 Ι Ι и от базиса Ι к базису Ι Ι Ι. Зная, что базис Ι правый, определить какими будут базисы Ι Ι и Ι Ι Ι.

127. АВСДEF – правильный шестиугольник. Даны базисы Ι = { АВ,АF },

Ι Ι ={ ЕF, ЕВ }, Ι Ι Ι = { СF, СД }. Проверить, что определители перехода удовлетворяют условию (Ι│ Ι Ι) (Ι Ι │ Ι Ι Ι) = (Ι │ Ι Ι Ι).

128. Найти направленный угол между векторами а и в, зная их координаты в ортонормированном правом базисе 1) а (-1,2), в (-1,-3),

2) а (-1,2), в (1,3), 3) а (- , 3), в (0,1).

129. Зная координаты вершин треугольника АВС в ортонормированном правом базисе, найти наибольший направленный угол этого треугольника.

1) А(5,2), В(1,-1), С(-6,3), 2) А(4,8), В(10,6), С(-2,1).

130. Найти координаты вектора а в ортонормированном правом базисе

(i, j), если 1)│ а │ = 3, направленный угол (i,а) равен 30°,

2) │ а │ = 5, направленный угол (i,а) равен 135°,

3) │ а │ = 1, направленный угол (i,а) равен -60°.