Задачи на множества точек, определяющих окружность

ЗАДАЧА № 26

Найти множество точек плоскости, отношение расстояний от каждой из которых до данных точек А и В равно постоянному положительному числу а, не равному единице.

 

РЕШЕНИЕ

 

1) Пусть расстояние между точками А и В равно с. Введем прямоугольную декартову систему координат (В, i, j), для которой вектор i сонаправлен с вектором ВА. В этой системе координат данные точки имеют следующие координаты А(с,0), В(0,0).

2) Пусть произвольная точка М, принадлежащая данному множеству точек, имеет координаты М(х,у). По условию.│АМ│: │ВМ│.= а, отсюда следует, что.│АМ│ = а │ВМ│. Используя формулу расстояния между двумя точками, получаем уравнение

_______________      ______________

√ (х – с)² + (у – 0)² = а √ (х - 0)² + (у – 0)² или

(х – с)² + у² = а² х² + а²у², отсюда получаем

х²(1 – а²) + у²(1 – а²) – 2хс + с² = 0. Так как а 1, то можно разделить обе части этого уравнения на 1 – а² и выделить полный квадрат членов, содержащих х

х²+ у² – 2хс / (1 – а²) + с² / (1 – а²) = 0. 

[х – с / (1 – а²)]² + у² = а²с² / (1 – а²)². Полученное уравнение является уравнение окружности с центром в точке М(с / (1 – а²), 0) и радиуса

r = ас /│1 – а²│.

Таким образом, искомое множество точек есть окружность с центром на прямой АВ.

 

ОТВЕТ. Множество точек плоскости отношение расстояний от каждой из которых до данных точек А и В равно постоянному положительному числу а , не равному единице есть окружность с центром на прямой АВ.

 

170. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до точек А(1,0) и В(-1,0) постоянно и равно .    

171. Найти множество точек плоскости, сумма квадратов расстояний от каждой из которых до двух данных точек А и В постоянна и равна с².

172. Найти уравнение множества точек плоскости, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до точек А(-1,2) и В(1,4) постоянна и равна 22.

173. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных перпендикулярных прямых постоянна и равна 16.. 

174. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых разность квадратов расстояний до точек А(0,0) и В(4,0) постоянна и

равна 2.

 

 

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

РАБОТЫ (на 45 мин.)