Полярная система кординат

 

Полярной системой координат на ориентированной плоскости называется объединение точки О и единичного вектора i, (О, i).

Полярными координатами любой точки М О в полярной системе координат (О, i ) называются два числа М(ρ,φ) ρ = │ОМ│, φ – направленный угол между векторами ОМ и i.

Если (О, i, j ) – прямоугольная декартова система координат, а (О, i ) – полярная система координат, то полярные координаты точки М(ρ,φ) и прямоугольные декартовы координаты этой же точки М(х,у) связаны формулами

      ______                 __ x ___                __ у ___

 ρ = √ х² + у², cos φ = √ х² + у², sin φ = √ х² + у².

                     х = ρ cos φ, у = ρ sin φ.

 

131. Дана полярная система координат. Построить точки А(2, π /2),

В(1, -π/4), С(1/2, 5 π/3).

132. Найти полярные координаты точек, симметричных точкам

А(1, π/4), В(3, 2π/3), С(2/3, - π/6) относительно 1) начала координат О,

3) полярной оси (О, i).

133. Дан равносторонний треугольник АВС с центром О и единичной стороной. Найти координаты точек А, В, С в полярной системе координат 1) (О, i), где i ↑↑ ОА, 2) (А, i), где i↑↑АВ.

    134.Дан квадрат АВСД с центром О. АВ = 3. Найти координаты вершин квадрата в полярной системе координат 1) (О, i), где i ↑↑ АВ,

2) (О, i), где i↑↑ОА, 3) (О, i), где i ↑↑ АД.

 135. Дан правильный шестиугольник АВСДEF с центром О и стороной АВ = 2. Найти координаты вершин шестиугольника в полярной системе координат 1) (О, i), где i ↑↑ ОА, 2) (А, i), где i↑↑АО.

136. Найти множество всех точек плоскости, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению 1) ρ = 1, 2) ρ= а, 3) φ = 60°.

 137. Даны полярная система координат (О, i) и правая прямоугольная декартова система координат (О, i, j). 1) Найти прямоугольные декартовы координаты точек А(5, π/3), В(1, - π/2), С(1/2, 3 π/4).

2) Найти полярные координаты точек М(0,6), Р(-1,1), К(,1).

    

ЗАДАЧА № 21

Дана полярная система координат и две точки А(ρ₁, φ₁), В(ρ₂,φ₂).

Найти расстояние между этими точками.

 

РЕШЕНИЕ.

 

Рассмотрим правую прямоугольную декартову систему координат

 (О, i, j). Найдем прямоугольные декартовы координаты точек А и В, используя формулы х = ρ Cos φ, у = ρ Sin φ.Получим

А(ρ₁ Cos φ₁, ρ₁ Sin φ₁), В(ρ₂ Cos φ₂, ρ₂ Sin φ₂). Теперь найдем расстояние между точками А и В в системе координат (О, i, j).

            ________________________________________

│АВ│= √(ρ₁ Cos φ₁ - ρ₂ Cos φ₂)² + (ρ₁ Sin φ₁ - ρ₂ Sin φ₂)² = 

______________________________________________________________

√ρ₁²(Cosφ₁ +Sinφ₁)² + ρ₂²(Cosφ₂ +Sinφ₂)² - 2ρ₁ ρ₂(Cos φ₁Cos φ₂ + Sinφ₁Sinφ₂)

_________________________

=√ ρ₁² + ρ₂² - 2ρ₁ ρ₂Cos (φ₁ – φ₂)

                            ________________________                     

ОТВЕТ │АВ│= √ρ₁² + ρ₂² - 2ρ₁ ρ₂Cos (φ₁ – φ₂)

 

138. Вычислить расстояние между точками А и В в полярное системе координат 1) А(2, π/12), В(5, π/12), 2) А(4, π/3), В(6, -4 π/5), 3)А(3, 11π/18),

В(4, π/9).

139.Зная полярные координаты вершин треугольника А(5, π/2), В(8,5π/6), С(3, - 5 π/6), доказать, что треугольник равносторонний.

140. Зная полярные координаты вершин треугольника А(2 , π/3), В(,2π/3), С(4 + , 2π/3), доказать, что треугольник прямоугольный.

ЗАДАЧА № 22

Определить, какое множество в полярной системе координат задано уравнением Cos φ = Sin φ.

 

РЕШЕНИЕ

 

Перепишем данное уравнение в прямоугольных декартовых

координатах. Для этого используем формулы

               _____               _______

Cos φ = х/√х² + у², Sin φ = у/√х² + у².                                                  

 Тогда данное уравнении Cos φ = Sin φ в полярных координатах будет

                   _____      _____

иметь вид х/√х² + у² = у/√х² + у² в прямоугольных декартовых координатах, отсюда следует, что х = у.

Уравнение х = у в прямоугольных координатах задает прямую, содержащую биссектрису угла между осями ОХ и ХУ.

Таким образом, данное уравнение Cos φ = Sin φ в полярной системе координат задает прямую, проходящую через начало полярной системы координат и составляющую угол π/4 с полярной осью [О, i). ■

 

141. В полярной системе координат составить уравнение окружности

 с центром А(1, π/2) и радиуса 3.

142. Найти множество точек, уравнение которого в полярной системе координат, имеет вид 1) ρ Cos φ = 2, 2) ρ  = 10 Sin φ, 3) ρ Sin φ = 1,

4)  Sin φ = .

 

ЗАДАЧА № 23

В правой прямоугольной декартовой системе координат (О, i, j)., дано уравнение прямой х + 2у + 5 = 0. Найти уравнение этой прямой в полярный системе координат (О, i).  

 

РЕШЕНИЕ    

 

Используя формулы, связывающие прямоугольные координаты точки и ее полярные координаты х = ρ Cos φ, у = ρ Sin φ, запишем уравнение данной прямой в полярных координатах.

 ρ Cos φ + 2ρ Sin φ + 5 = 0.

 

ОТВЕТ. ρ Cos φ + 2ρ Sin φ + 5 = 0.

 

143. Даны правая прямоугольная декартова система координат(О, i, j), и полярная система координат (О, i).

Записать в полярной системе координат уравнения множеств точек, которые в прямоугольной декартовой системе координат имеют уравнения: 1) х – 3у = 0, 2) у + 5 = 0, 3) 2х² + у² = 5, 4) 4х – у² = 0.