2020-10-12
173
Пусть 
и 
. Имеем 
(3.1).
Таким образом, координаты вектора можно найти, вычитая из координат конечной точки соответствующие координаты начальной точки вектора.
Пример 3.1. Пусть даны координаты точек 
и 
. Найдем координаты вектора 
Решение. Используем формулу (3.1): 
Тогда 
Линейные операции над векторами в координатной форме
Пусть 
и 
Тогда
1) 
;
2) 
;
3) 
т.е. 
.
Пример. 3.2. Найти координаты вектора 
, если 
.
Решение. 
.
Условие коллинеарности ( параллельности) векторов
Для параллельности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы координаты одного вектора были пропорциональны координатам другого
Векторы коллинеарны, если абсцисса первого вектора относится к абсциссе второго так же, как ордината первого — к ординате второго.
Формулы (1) и (2) кратко записывают в виде следующих пропорций:
соответственно 
Здесь один из знаменателей может оказаться равным нулю. Чтобы обойти эту трудность, договоримся всякую пропорцию понимать в смысле равенства ad = bс. Тогда обращение в нуль одного из знаменателей означает обращение в нуль и соответствующего числителя.
При этом обращение какого-нибудь из знаменателей в нуль означает, в соответствии с равенствами (1) или (2), что и числитель этой дроби равен нулю.
Понимать эти равенства надо с таким условием: если какой-то знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель (про пропорциональность).
Из формулы вычеркиваются те из отношений, знаменатели которых равны нулю, а числители вычеркнутых отношений приравниваются нулю.
Длина (модуль) вектора заданного координатами
Если 
, то длина (модуль) вектора:
(3.2).
Расстояние между двумя точками 
и 
АВ = 
(3.3).
Пример 3.3. Даны координаты точек 
и 
. Найти расстояние между ними.
Направляющие косинусы вектора
Пусть 
– углы, которые образует вектор 
с осями координат Ox, Oy, Oz соответственно.
Тогда 
называются направляющимися косинусами вектора 
:
(3.4).
Следствия:
1) 
2) 
