2020-10-12
201
1. Найти все значения m, при которых длина вектора 
= (m 
, 5, 4) больше 8.
2. Найти длину вектора 
по заданным координатам его концов
А (2; 3; 1) и В (1; 1; 3).
3. В равнобедренном треугольнике с вершинами в точках А (4; 2; 1),
В (6; 3; 2), С (3; 4; 0) найти длину боковой стороны.
4. При каких значениях k, m векторы 
= (1, m, 2) и 
= (4, 1, k) коллинеарны?
5. Даны векторы = (2; -4; 6) и 
= (m; 2; n). Найти сумму m + n, если точки А, В и С лежат на одной прямой.
6. Известно, что вектор 
направлен противоположно вектору = (-18; 9; - 6) и | | = 7. Найти сумму координат вектора .
7. При каких значениях m векторы = (m 
, - 5, 1) и = (1, 1, - 4) перпендикулярны?
8. Найти косинус угла между векторами = (3, 2, 1) и = (1, 1, 2).
9. Точки А (2; 3; -5), С (3; 6; 8) и D (5; 4; -1) являются вершинами параллелограмма ABCD. Найти длину диагонали BD.
10. Точки А (1; 3; -1), В (2; 4; 5) и С (8; 5; 6) являются вершинами ромба ABCD. Найти длину диагонали BD.
11. Найти градусную меру угла между вектором = (- 
; - 
; 
) и осью абсцисс.
12. Найти градусную меру угла между вектором = (-1; 
; -2 
) и осью Oz.
13. Найти | |, если | | = 
, 
= 20 и 
= 18.
14. Найти 
, если | | = 17, 
= 28 и | |= 21.
15. Найти градусную меру угла между векторами и , если 
16. Найти | |• | |, если вектор + делит угол между векторами
= (3; 5; - 7) и пополам.
17. Найти градусную меру угла между векторами , , если
= | | + | |.
18. Даны векторы = (5; -2; 3), = (2; -3; 1) и 
= - 2 . Найти угол между векторами и .
19. Даны векторы (3; 2; - 1) и (2; 4; 1). Найти угол между векторами + и - .
20. В параллелограмме ABCD известны векторы = (-4;-4;3),
= (-2;-6;1) и вершина А (3; 7; -5). Найти сумму координат точки пересечения диагоналей параллелограмма.
Ответы:
1. (-  ; -1)U(1; + );
| 2. 3; | 3.  ;
|
| 4. k = 8, m = 1/4 | 5. -4; | 6. 5; |
7.±3; 8.  /6;
11. 120°; 12. 135°;
15. 0°; 16. 83;
| 9.  ;
13. 15;
17. 0°;
| 10. 5 ;
14. 26;
18. 90°;
|
19.  - arccos7/3  ;
| 20. 6. | - |
(Соболь Б.)Примеры 1-20
Пример 1. Найти все значения m, при которых длина вектора
= (
, -m, 2) равна 10.
Ответ: т = ±9.
Пример 2. Найти все значения 
, при которых длина вектора
= (, 75, 4) больше 5.
Ответ: (- ; -2) и (2; + ).
Пример 3. Найти длину вектора по заданным координатам его концов А (4, 3, -1); В (1-, 6, 2).
Пример 4. Найти длину основания равнобедренного треугольника с вершинами в точках А (2; 3; 1), В(1; 3; 3) и С(2; 4; 3).
Ответ: .
Пример 5. Даны векторы = (3; 5; 1), 
= (1; 4; 2) и 
= 
– 3 
. Определить длину вектора с.
Ответ: 
.
Пример 6. При каких значениях k, m векторы = (-1, - 1, т) и = (к, 4, 5) коллинеарны?
Ответ: k = 4, m = - 5/4
Пример 7. Даны векторы = (-3; 5; 11) и = (6; m; n). Найти разность m - n, если точки A, B, C лежат на одной прямой.
Ответ: 12.
Пример 8. Даны векторы = (2; 4; -1), = (3; 5; -3) и = 2 - . Найти скалярное произведение векторов и 
.
Ответ: 13.
Пример 9. При каких значениях векторы = (5, 
, 14)
и = (2, 1, -1) перпендикулярны?
Ответ: ±2.
Пример 10. Найти косинус угла между векторами = (-1, 1, 1) и
= (-1, 5, 3).
Ответ: 
.
Пример 11. Найти все значения m, при которых угол между векторами = (7; -1; 2т) и = (-2; 4m; 1) острый.
Ответ: m < -7.
Пример 12. В параллелограмме ABCD заданы вершина С(6; -8, 5) и векторы 
(-3; 1; 4) и 
(2; - 3; 5) его диагонали. Найти сумму координат точки B.
Ответ: 0.
Пример 13. Векторы = (5; 2; -1) и = (1; -5; -2), проведенные из точки С (5; 4; -3), являются боковыми сторонами равнобедренного треугольника. Найти сумму координат основания высоты треугольника, проведенной из вершины С.
Ответ: 6.
Пример 14. В треугольнике ABC заданы 
= (3; - 5; 2), точки М, N - середины сторон АВ и ВС соответственно, a 
= (-4; 1; 7). Найти сумму координат вектора ВС.
Ответ: 8
Пример 15. Вектор направлен одинаково с вектором = (-8; 16; 4) и
| | = . Найти произведение координат вектора .
Ответ: -8.
Пример 16. Вектор направлен противоположно вектору 
(3; - 4; -1) и | | = 3 
. Найти сумму координат вектора .
Ответ: 6
Пример 17. Точки А(4; -3; 7), В(5; 3; 8) и D(10; -4; 6) являются вершинами ромба ABCD. Найти длину диагонали АС.
Ответ: .
Пример 18. Найти | | + | |, если | + | = 19, | - | = 17 и | | = 10.
Ответ: 25.
Пример 19. Укажите градусную меру угла между вектором
= (- ; - 3 
; - 2 
) и осью ординат.
Ответ: 135°.
Пример 20. Найти | | - | |, если вектор + делит угол между векторами = (23; -17; 88) и пополам.
Ответ: 0.
Тема. «Элементы векторной алгебры»
1. Что такое скалярные и векторные величины, привести их примеры и дать определение вектора.
2. Дать определения коллинеарных, компланарных векторов.
3. Дать определения равных, противоположных векторов.
4. Что относится к линейным операциям над векторами? Рассмотреть сложение векторов геометрическими методами с показом на примерах.
5. Дать определение разности двух векторов и привести геометрические методы вычитания векторов.
6. Дать определение произведения вектора на скаляр (число) и как выполняется эта операция геометрическим построением, привести пример.
7. Дать определение компоненты и проекции (координаты) вектора 
на координатную ось Ох. Привести формулы определения проекции вектора и её связи с компонентой.
8. Дать линейные операции над векторами (сложение, вычитание и умножение вектора на скаляр) в координатной форме.
9. Дать определение коллинеарности векторов и привести условие коллинеарности в координатной форме.
10. Дать определение модуля и привести формулы вычисления модуля и направляющих косинусов вектора в пространстве.
11. Дать определение скалярного произведения векторов и привести его выражение через проекции вектора.
12. Привести скалярное произведение векторов в координатной форме и дать условие ортогональности векторов.
13. Дать определение векторного произведения, привести свойства его, привести его координатную форму и геометрический смысл.
14. Дать определение смешанного (векторно-скалярного) произведения трех векторов, привести его координатную форму и геометрический смысл.
