Упражнения для самостоятельной работы

1. Найти все значения m, при которых длина век­тора  = (m , 5, 4) больше 8.

2. Найти длину вектора  по заданным коорди­натам его концов

А (2; 3; 1) и В (1; 1; 3).

3. В равнобедренном треугольнике с вершинами в точках А (4; 2; 1),

В (6; 3; 2), С (3; 4; 0) найти дли­ну боковой стороны.

4. При каких значениях k, m векторы  = (1, m, 2) и  = (4, 1, k) коллинеарны?

5. Даны векторы  =  (2; -4; 6) и  = (m; 2; n). Найти сумму m + n, если точки А, В и С лежат на одной прямой.

6. Известно, что вектор  направлен противопо­ложно вектору = (-18; 9; - 6) и | | = 7. Найти сумму координат вектора .

7. При каких значениях m векторы = (m , - 5, 1) и = (1, 1, - 4) перпендикулярны?

8. Найти косинус угла между векторами = (3, 2, 1) и = (1, 1, 2).

9. Точки А (2; 3; -5), С (3; 6; 8) и D (5; 4; -1) являются вершинами параллелограмма ABCD. Найти длину диагонали BD.

10. Точки А (1; 3; -1), В (2; 4; 5) и С (8; 5; 6) являются вер­шинами ромба ABCD. Найти длину диагонали BD.

11. Найти градусную меру угла между вектором = (- ; - ; ) и осью абсцисс.

12. Найти градусную меру угла между вектором = (-1; ; -2 ) и осью Oz.

13. Найти | |, если | | = , = 20 и = 18.

14. Найти , если | | = 17, = 28 и | |= 21.

15. Найти градусную меру угла между векторами и , если

16. Найти | |• | |, если вектор  +  делит угол между векторами

 = (3; 5; - 7) и  пополам.

17. Найти градусную меру угла между векторами , , если

= | | + | |.

18. Даны векторы  = (5; -2; 3), = (2; -3; 1) и  =  - 2  . Найти угол между векторами  и .

19. Даны векторы  (3; 2; - 1) и  (2; 4; 1). Найти угол между векторами  +  и  - .

20. В параллелограмме ABCD известны векторы = (-4;-4;3),

 = (-2;-6;1) и вершина А (3; 7; -5). Найти сумму координат точки пересечения диагоналей параллелограмма.

Ответы:

 

1. (- ; -1)U(1; + );	2. 3;	3. ;
4. k = 8, m = 1/4	5. -4;	6. 5;
7.±3;  8. /6; 11. 120°; 12. 135°; 15. 0°;  16. 83;	9. ; 13. 15; 17. 0°;	10. 5 ; 14. 26; 18. 90°;
19.  - arccos7/3 ;	20. 6.	-

(Соболь Б.)Примеры 1-20

Пример 1. Найти все значения m, при которых длина век­тора

 = (, -m, 2) равна 10.

Ответ: т = ±9.

Пример 2. Найти все значения , при которых длина вектора

= (, 75, 4) больше 5.

Ответ: (- ; -2) и (2; + ).

Пример 3. Найти длину вектора  по заданным ко­ординатам его концов А (4, 3, -1); В (1-, 6, 2).

Пример 4. Найти длину основания равнобедренного треугольника с вершинами в точках А (2; 3; 1), В(1; 3; 3) и С(2; 4; 3).

Ответ: .

Пример 5. Даны векторы = (3; 5; 1), = (1; 4; 2) и  =  – 3 . Определить длину вектора с.

Ответ: .

Пример 6. При каких значениях k, m векторы = (-1, - 1, т) и = (к, 4, 5) коллинеарны?

Ответ: k = 4, m = - 5/4

Пример 7. Даны векторы  = (-3; 5; 11) и  = (6; m; n). Найти разность m - n, если точки A, B, C лежат на одной прямой.

Ответ: 12.

Пример 8. Даны векторы = (2; 4; -1), = (3; 5; -3) и  = 2  -  . Найти скалярное произведение векторов  и .

Ответ: 13.

Пример 9. При каких значениях  векторы  = (5, , 14)

и = (2, 1, -1) перпендикулярны?

Ответ: ±2.

Пример 10. Найти косинус угла между векторами  = (-1, 1, 1) и

= (-1, 5, 3).

Ответ: .

Пример 11. Найти все значения m, при которых угол между векторами = (7; -1; 2т) и = (-2; 4m; 1) ост­рый.

Ответ: m < -7.

Пример 12. В параллелограмме ABCD заданы вершина С(6; -8, 5) и векторы (-3; 1; 4) и  (2; - 3; 5) его диагонали. Найти сумму координат точки B.

Ответ: 0.

Пример 13. Векторы = (5; 2; -1) и = (1; -5; -2), проведенные из точки С (5; 4; -3), являются бо­ковыми сторонами равнобедрен­ного треугольника. Найти сумму координат основания высоты треугольника, проведенной из вершины С.

Ответ: 6.

Пример 14. В треугольнике ABC заданы = (3; - 5; 2), точки М, N - середины сторон АВ и ВС соответственно, a = (-4; 1; 7). Найти сумму координат вектора ВС.

Ответ: 8

 

 

Пример 15. Вектор  направлен одинаково с вектором = (-8; 16; 4) и

|  | = . Найти произведение ко­ординат вектора .

Ответ: -8.

Пример 16. Вектор  направлен противоположно век­тору (3; - 4; -1) и |  | = 3 . Найти сумму координат вектора .

Ответ: 6

Пример 17. Точки А(4; -3; 7), В(5; 3; 8) и D(10; -4; 6) являются вершинами ромба ABCD. Найти длину ди­агонали АС.

Ответ: .

Пример 18. Найти | | + |  |, если |  +  | = 19, |  - | = 17 и | | = 10.

Ответ: 25.

Пример 19. Укажите градусную меру угла между век­тором

= (- ; - 3 ; - 2 ) и осью ординат.

Ответ: 135°.

Пример 20. Найти |  | - | |, если вектор  +  делит угол между векторами  = (23; -17; 88) и  пополам.

Ответ: 0.

Тема. «Элементы векторной алгебры»

1. Что такое скалярные и векторные величины, привести их примеры и дать определение вектора.

2. Дать определения коллинеарных, компланарных векторов.

3. Дать определения равных, противоположных векторов.

4. Что относится к линейным операциям над векторами? Рассмотреть сложение векторов геометрическими методами с показом на примерах.

5. Дать определение разности двух векторов и привести геометрические методы вычитания векторов.

6. Дать определение произведения вектора на скаляр (число) и как выполняется эта операция геометрическим построением, привести пример.

7. Дать определение компоненты и проекции (координаты) вектора  на координатную ось Ох. Привести формулы определения проекции вектора и её связи с компонентой.

8. Дать линейные операции над векторами (сложение, вычитание и умножение вектора на скаляр) в координатной форме.

9. Дать определение коллинеарности векторов и привести условие коллинеарности в координатной форме.

10. Дать определение модуля и привести формулы вычисления модуля и направляющих косинусов вектора в пространстве.

11. Дать определение скалярного произведения векторов и привести его выражение через проекции вектора.

12. Привести скалярное произведение векторов в координатной форме и дать условие ортогональности векторов.

13. Дать определение векторного произведения, привести свойства его, привести его координатную форму и геометрический смысл.

14. Дать определение смешанного (векторно-скалярного) произведения трех векторов, привести его координатную форму и геометрический смысл.