Скалярное произведение векторов

 

Скалярным произведением  двух векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

          (3.5).

Свойства скалярного произведения векторов:

1.	4.
2.	5.  Условие перпендикулярности векторов Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
3.	6.

Проекцией вектора  на вектор  называется число, равное

             (3.6).

Нахождение скалярного произведения через координаты векторов

                   (3.7).

Пример 3.4. Даны координаты векторов  и . Найти их скалярное произведение.

Решение. По формуле (3.7) получим: .

Приложения скалярного произведения векторов

1) Если , то угол между ними:

     (3.8).

2)                    (3.9).

Пример 3.5. Даны координаты векторов  и . Найти косинус угла между ними.

 

Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов  и называется третий вектор , удовлетворяющий следующим трем условиям:

1) ;

2)  и ;

3) вектора  образуют правую тройку (т.е. если смотреть с конца вектора , то кротчайший поворот от вектора  к вектору  совершается против часовой стрелки).

 

Векторное произведение обозначается: .

Свойства векторного произведениявекторов:

1.	4.
2.	5.
3.

Нахождение векторного произведения через координаты векторов

Если  и , то

           (3.10).

или  =   (3.11).

Приложения векторного произведения векторов

1) Площадь параллелограмма построенного на векторах  и :

S_парал.=           (3.12).

2) Площадь треугольника построенного на векторах  и :

                    

 

 

S_треуг.=                 (3.13).

 

 

Пример 3.6. Найти площадь параллелограмма построенного на векторах  и , где , .

 

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трёх векторов  называется число равное скалярному произведению вектора  на векторное произведение векторов  и

Смешанное произведение обозначается  и по определению равно:

            (3.14).

Свойства смешанного произведения векторов:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.  (не нарушается круговой порядок);

6.  (нарушается круговой порядок).

Нахождение смешанного произведения через координаты векторов

Если  то

             (3.15).