Пример 1. Дано: ве 3 рамма построенного на векторах векторовнечной точек: , , .
Вычислить: а) ; б) ; в) .
Решение.
а) ;
б) с учетом свойств скалярного произведения имеем:
Пример 2. Даны векторы = (2; –1; – 2) и = (8; – 4; 0).
Найти: а) векторы = 2 и = – ; б)длины векторов и ; в) скалярный квадрат вектора ; г) скалярное произведение векторов и ; д) угол между векторами и .
Решение. а) По определению =2, =(4;–2;–4); = – =(6;–3;2).
б) Найдем длины векторов и :
.
в) Скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора, т.е.
.
г) По формуле (3.7) скалярное произведение векторов и равно:
.
д) По формуле(3.8) найдем косинус угла между векторами и :
.
Тогда угол между векторами и равен:
.
Пример 3. Найти внутренний угол при вершине A в треугольнике с вершинами A (1; 2; –1), B (5; 5; 4) и C (13; 18; 20).
Решение. Найдем координаты векторов и .
, . По формуле (3.8) имеем
.
Таким образом, .
Пример 4. Найти длину вектора , перпендикулярного векторам и .
Решение. Искомый вектор . По формуле (3.10) находим:
.
! Проверьте самостоятельно вычисление определителей.
|
|
Отсюда .
Пример 5. Найти площадь треугольника с вершинами A (2;2;2), B (1;3;3), C (3;4;2).
Решение. .
, .
.
! Проверьте самостоятельно вычисление определителя.
(кв. ед.).
Пример 6. Доказать компланарность векторов , , .
Решение. По формуле (3.15) находим смешанное произведение :
.
! Проверьте самостоятельно вычисление определителей.
=0, а это значит, что векторы компланарны.
Пример 7. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках A (–1;1;0), B (2;–2;1); C (3;1;–1); D (1;0;–2).
Решение. Рассмотрим векторы , , .
Искомый объем тетраэдра равен объема параллелепипеда, построенного на векторах , и . По формуле (3.17):
.
! Проверьте самостоятельно вычисление определителя.
(куб. ед.).
Пример 8. Найти объем параллелепипеда построенного на векторах , где , , .
Решение. Найдем смешанное произведение векторов по формуле (3.15):
.
Искомый объем параллелепипеда, построенного на векторах , и по формуле равен:
(куб. ед.).
Пример 9. Пусть в магазине имеется набор из 5 товаров, количество и стоимость (в тыс. руб.) которых указана в таблице
Товар | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Количество | 50 | 150 | 75 | 100 | 200 |
Стоимость | 35 | 40 | 70 | 80 | 20 |
Требуется определить общую стоимость товара в магазине.
Решение. Введём в рассмотрение вектор , координатами которого являются количество i – го товара (i = 1,2,3,4,5) и вектор , образованный из цен на эти товары. Тогда искомую общую стоимость S можно найти по формуле
Пример 10. На предприятии имеется шесть цехов. Плановые задания цехов (в млн. руб.) образуют вектор план
Предположим, что к какому-то моменту цехи выполнили свои планы соответственно на 20%,40%.50%,70%,30%,10%.Определить стоимость S произведенной предприятием продукции на данный момент.
|
|
Решение.
Если ввести в рассмотрение вектор выполнения плана, то имеем