2020-10-12
231
Пример 1. Дано: ве 3 рамма построенного на векторах векторовнечной точек: 
, 
, 
.
Вычислить: а) 
; б) 
; в) 
.
Решение.
а) 
;
б) с учетом свойств скалярного произведения имеем:
Пример 2. Даны векторы 
= (2; –1; – 2) и 
= (8; – 4; 0).
Найти: а) векторы 
= 2 и 
= – ; б)длины векторов и ; в) скалярный квадрат вектора ; г) скалярное произведение векторов и ; д) угол между векторами 
и 
.
Решение. а) По определению =2, =(4;–2;–4); = – =(6;–3;2).
б) Найдем длины векторов и :
.
в) Скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора, т.е.
.
г) По формуле (3.7) скалярное произведение векторов и равно:
.
д) По формуле(3.8) найдем косинус угла между векторами и :
.
Тогда угол 
между векторами и равен:
.
Пример 3. Найти внутренний угол при вершине A в треугольнике с вершинами A (1; 2; –1), B (5; 5; 4) и C (13; 18; 20).
Решение. Найдем координаты векторов 
и 
.
, 
. По формуле (3.8) имеем
.
Таким образом, 
.
Пример 4. Найти длину вектора 
, перпендикулярного векторам 
и 
.
Решение. Искомый вектор 
. По формуле (3.10) находим:
.
! Проверьте самостоятельно вычисление определителей.
Отсюда 
.
Пример 5. Найти площадь треугольника с вершинами A (2;2;2), B (1;3;3), C (3;4;2).
Решение. 
.
, 
.
.
! Проверьте самостоятельно вычисление определителя.
(кв. ед.).
Пример 6. Доказать компланарность векторов 
, 
, 
.
Решение. По формуле (3.15) находим смешанное произведение 
:
.
! Проверьте самостоятельно вычисление определителей.
=0, а это значит, что векторы компланарны.
Пример 7. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках A (–1;1;0), B (2;–2;1); C (3;1;–1); D (1;0;–2).
Решение. Рассмотрим векторы 
, 
, 
.
Искомый объем тетраэдра равен 
объема параллелепипеда, построенного на векторах , и . По формуле (3.17):
.
! Проверьте самостоятельно вычисление определителя.
(куб. ед.).
Пример 8. Найти объем параллелепипеда построенного на векторах 
, где 
, 
, 
.
Решение. Найдем смешанное произведение векторов по формуле (3.15):
.
Искомый объем параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
и по формуле равен:
(куб. ед.).
Пример 9. Пусть в магазине имеется набор из 5 товаров, количество и стоимость (в тыс. руб.) которых указана в таблице
| Товар | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Количество | 50 | 150 | 75 | 100 | 200 |
| Стоимость | 35 | 40 | 70 | 80 | 20 |
Требуется определить общую стоимость товара в магазине.
Решение. Введём в рассмотрение вектор 
, координатами которого являются количество i – го товара (i = 1,2,3,4,5) и вектор 
, образованный из цен на эти товары. Тогда искомую общую стоимость S можно найти по формуле
Пример 10. На предприятии имеется шесть цехов. Плановые задания цехов (в млн. руб.) образуют вектор план 
Предположим, что к какому-то моменту цехи выполнили свои планы соответственно на 20%,40%.50%,70%,30%,10%.Определить стоимость S произведенной предприятием продукции на данный момент.
Решение.
Если ввести в рассмотрение вектор выполнения плана, 
то имеем
