Метод Бубнова–Галеркина

Метод Бубнова–Галеркина можно рассматривать как обобщение метода Ритца для уравнений вида (6), где оператор А не обязательно положительный.

Пусть неизвестная функция u (P) удовлетворяет в некоторой области Ω неоднородному уравнению

                                      (28)

и, может быть, некоторым однородным граничным условиям.

Выберем бесконечную последовательность координатных функций φ₁, φ₂, …, φ_n, …, которые достаточное число раз (в соответствии с данными задачи) непрерывно дифференцируемы в замкнутой области  и которые удовлетворяют всем краевым условиям нашей задачи. Как обычно, через S обозначена граница области Ω.

Будем считать, что как уравнение (28), так и соответствующие ему краевые условия — линейные, тогда функция (10) удовлетворяет всем краевым условиям.

По методу Бубнова–Галеркина коэффициенты a_j определяются из требования, чтобы левая часть уравнения (28) стала, после подстановки в нее u_n (P) вместо u (P), ортогональной к функциям φ₁, φ₂, …, φ_n.

Метод Бубнова–Галеркина тем самым приводит к системе линейных алгебраических уравнений, которая по виду тождественна с системой (13) метода Ритца. Отсюда нетрудно заключить, что методы Бубнова–Галеркина и Ритца совпадают, если оператор А положительно определенный. В общем же случае метод Ритца неприменим, тогда как метод Бубнова–Галеркина сохраняет силу.