2020-10-12
144
Применение приближенных методов требует предварительного выбора системы координатных функций. От удачного или не удачного выбора такой системы зависит успех приближенного метода. Выскажем некоторые соображения, которые могут быть полезны на практике [3]:
Система функций (x – a) m (b – x) mxk полна по энергии оператора
при краевых условиях u ( k )(a) = u ( k )(b) = 0, k = 0,1,2,…,(m – 1).
Пусть в некоторой области Ω рассматривается задача Дирихле для уравнения Пуассона при условии, что на границе S области Ω искомая функция равна нулю.
Полную по энергии систему координатных функций можно построить таким образом. Пусть w (x,y) — функция, равная нулю в точках границы S и положительная во внутренних точках области Ω; примем еще, что эта функция непрерывна в замкнутой области 
, а ее первые производные непрерывны и ограничены внутри Ω. Тогда система функций w (x,y) xkyl, k,l = 1,2,… полна по энергии в Ω.
Варианты заданий для курсовой работы
Вариант № 1.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
|
|
|
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Уравнение
описывает отклонение балки, покоящейся на упругом основании жесткостью k. Здесь EJ — постоянная жесткость балки на изгиб, а q — поперечная нагрузка на единицу ее длины.
1. Привести вывод уравнения изгиба балки, лежащей на упругом основании.
2. Пусть балка имеет единичную длину и свободно оперта на концах. Краевые условия, соответствующие свободно опертой балке, имеют вид 
при x = 0 и x = 1. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя метод Ритца, найти отклонение балки, если 
.
3. Построить точное решение задачи и сравнить его с полученными приближенными решениями.
Вариант № 2.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
|
|
|
Задача 2.
Уравнение
описывает отклонение балки, покоящейся на упругом основании жесткостью k. Здесь EJ — постоянная жесткость балки на изгиб, а q — поперечная нагрузка на единицу ее длины.
1. Привести вывод уравнения изгиба балки, лежащей на упругом основании.
2. Пусть балка имеет единичную длину и защемлена в обоих концах так, что 
при x = 0 и x = 1. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Бубнова-Галеркина. Используя метод Бубнова-Галеркина, найти отклонение балки, если .
3. Построить точное решение задачи и сравнить его с полученными приближенными решениями.
Вариант № 3.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя метод Ритца, найти решение уравнения Лапласа 
в прямоугольнике 
, если на границе этого прямоугольника функция 
принимает следующие значения
.
Построить точное решение задачи. Исследовать сходимость приближенного решения и сравнить его с точным решением
.
Построить графики решений. В численных расчетах принять A = 1, B = 1, a = b = 1.
Вариант № 4.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
В некоторой двумерной задаче стационарной теплопроводности для квадрата со стороной длины 2 температура на сторонах x = ± 1 изменяется как 1 – y2, а на сторонах y = ± 1 – как 1 – x2.
1. Привести вывод стационарного уравнения теплопроводности.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя метод Ритца и аппроксимацию, удовлетворяющую граничным условиям, найти распределение температуры на квадрате.
3. Построить графики приближенных решений.
Вариант № 5.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Решить задачу стационарной теплопроводности в материале, занимающем квадрат | x | £ 1, | y | £ 1, если на сторонах y = ±1 поддерживается температура 1000С, тогда как на сторонах x = ± 1 задано условие 
.
1. Привести вывод стационарного уравнения теплопроводности.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Методом Ритца найти распределение температуры на квадрате, используя аппроксимацию, удовлетворяющую краевым условиям только на сторонах y = ± 1. Показать сходимость аппроксимации к краевому условию на сторонах x = ± 1.
3. Построить графики приближенных решений.
Вариант № 6.
|
|
|
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
1. Привести вывод уравнения и граничных условий для задачи кручения стержня.
2. Построить точное решение задачи о кручении стержня прямоугольного сечения: 
.
3. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца.
4. Решить методом Ритца задачу о кручении стержня прямоугольного сечения: 
. В качестве координатных функций взять полиномы.
5. Исследовать сходимость полученного приближенного решения и сравнить его с точным решением.
6. Вычислить крутящий момент 
.
7. Исследовать решение в зависимости от отношения сторон прямоугольника. Рассмотреть случай очень узкого прямоугольника.
Вариант № 7.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.
Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение задачи Дирихле в квадрате 0 £ x £ l, 0 £ y £ l
при краевых условиях 
.
Построить точное решение задачи. Исследовать сходимость приближенного решения и сравнить его с точным решением
.
Построить графики решений, приняв 
.
Вариант № 8.
|
|
|
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения задачи методом Бубнова-Галеркина.
Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение задачи Дирихле в прямоугольнике 0 £ x £ a, 0 £ y £ b
при краевых условиях
.
Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики приближенных решений.
Найти точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 9.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.
Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение уравнения Лапласа в квадрате 0 < x < 1, 0 < y < 1, если на границе этого квадрата решение принимает следующие значения
.
Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики приближенных решений.
Найти точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 10.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения задачи методом Ритца.
Используя вариационный метод Ритца, найти решение уравнения Пуассона в квадрате 0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1
при краевых условиях 
. Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 11.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения задачи методом Ритца.
Используя вариационный метод Ритца, найти решение уравнения Пуассона в квадрате 0 £ x £ 5, 0 £ y £ 5
при краевых условиях 
. Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 12.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения задачи методом Ритца.
Используя вариационный метод Ритца, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2
при краевых условиях 
. Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 13.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.
Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 3, 0 £ y £ 3
при краевых условиях 
. Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 14.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Ритца.
Используя вариационный метод Ритца, найти решение задачи Дирихле в прямоугольнике 0 £ x £ 3, 0 £ y £ 5
при краевых условиях 
. Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 15.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Привести вывод уравнения и граничных условий для задачи кручения стержня.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Ритца.
Используя вариационный метод Ритца, решить задачу о кручении стержня прямоугольного сечения
.
В качестве координатных функций взять полиномы.
Исследовать сходимость полученного приближенного решения и сравнить его с точным решением (предварительно построив точное решение задачи). Построить графики.
Вычислить интеграл
.
Вариант № 16.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Найти приближенное решение методом Ритца.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Дать вывод уравнения изгиба балки, лежащей на упругом основании; сформулировать основные типы граничных условий.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.
Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение уравнения
на отрезке 
при граничных условиях 
на концах отрезка.
Построить точное решение и сравнить его с приближенным. Построить графики.
Вариант № 17.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 18.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 19.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 20.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
3. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 21.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 22.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 23.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 24.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 25.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 26.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 27.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 28.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Решить задачу стационарной теплопроводности в материале, занимающем квадрат | x | £ 1, | y | £ 1, если на сторонах y = ±1 поддерживается температура 10000С, тогда как на сторонах x = ± 1 задано условие 
.
1. Привести вывод стационарного уравнения теплопроводности.
2. Подробно описать методику решения задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти распределение температуры на квадрате, используя аппроксимацию, удовлетворяющую краевым условиям только на сторонах y = ± 1. Показать сходимость аппроксимации к краевому условию на сторонах x = ± 1.
3. Построить графики приближенных решений.
4. Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 29.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Дать подробное описание метода Бубнова-Галеркина. Пользуясь этим методом, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2
при краевых условиях 
. Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 30.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Дать подробное описание вариационного метода Ритца. Пользуясь этим методом, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2
при краевых условиях 
. Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
