Построение парного линейного уравнения

Если имеется только один факторный признак, строится так называемая парная регрессия, выражающаяся уравнением прямой

Коэффициент регрессии а ₁ показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную Х увеличить на единицу ее собственного измерения.

Свободный член уравнения а ₀ характеризует усредненное влияние неучтенных в модели факторов (определяет начальные условия развития).

Для нахождения параметров уравнения прямой воспользуемся методом наименьших квадратов.

Для расчета параметров линейного уравнения регрессии решим следующую систему нормальных уравнений:

После решения системы и нахождения параметров а ₀ и а ₁ данные параметры подставляют в уравнение прямой. Рассчитанные по этому уравнению значенияназываются теоретическими (выравненными) значениями у.

Пример 8.3 –Рассчитаем парный коэффициент корреляции и построим уравнение регрессии на основе следующих данных таблицы 8.3.

Таблица 8.3 - Стоимость основных фондов и выпуск продукции по группе заводов

Номер завода	Стоимость основных фондов, млн. р. (х)	Выпуск продукции, млн. р. (y)
		2,4
		4,0
		3,6
		4,0
		4,5
		4,6
		5,6
		6,5
		7,0
		5,0
Итого		47,2

Изобразим на графике координаты факторного и результативного признака точками, а затем соединим их между собой (рисунок 8.3).

Рисунок 8.3 – Поле корреляции

На поле корреляции появилась линия, которая по форме ближе всего к прямой.

Можно предположить, что между стоимостью основных фондов и выпуском продукции существует прямолинейная связь, которая выражается уравнением прямойДля определения параметров а ₀и а ₁,используя метод наименьших квадратов, необходимо решить следующую систему нормальных уравнений:

где п - численность совокупности (в нашем примере п = 10).

Проведем необходимые расчеты в следующей таблице 8.4.

Таблица 8.4 - Расчет параметров уравнения регрессии

Номер завода	Стоимость основных фондов, р. (х)	Выпуск продукции, р. (y)
		2,4	14,4	2,692
		4,0	32,0	3,537
		3,6	32,4	3,958
		4,0	40,0	4,380
		4,5	45,0	4,380
		4,6	50,6	4,802
		5,6	67,2	5,224
		6,5	84,5	5,646
		7,0	98,0	6,068
		5,0	75,0	6,490
Итого		47,2	539,1	-

Расчеты, проведенные в таблице 8.4, дали следующие результаты:

Следовательно, система уравнений для нахождения параметров прямой имеет вид:

Решим ее.

Каждый член обоих уравнений поделим на коэффициенты при а ₀ и из второго уравнения вычтем первое:

1) 4,72 = а ₀+ 10,8 а ₁;

2) 4,99 = а ₀ + 11,44 а ₁; 0,27 = 0,64 а ₁.

Определим параметр а ₁:

Подставив значение а ₁ в первое уравнение, получим:

4,72 = а ₀ + 10,8 0,422, откуда а ₀ = 0,16.

Параметр а ₀ - свободный член уравнения: у_х = 0,16, когда х = 0.

Получим:

а ₀ = 0,16; а ₁ = 0,422.

Параметр уравнения а ₁ показывает, что с увеличением стоимости фондов на 1 млн р. выпуск продукции увеличивается в среднем на 0,422 млн р. Линейное уравнение корреляционной связи будет иметь следующий вид:

Подставляя в это уравнение значения х, получим:

1) при х = 6: у ₆ = 0,16 + 0,422 6 = 2,692;

2) при х = 8: у ₈ = 0,16 + 0,422 8 = 3,537 и т. д.

Эти значения называются выравненными. Они приведены в последней колонке таблицы 8.4.

Измерим тесноту связи между факторным и результативным признаками. Для расчета используем следующую формулу:

Расчет необходимых значений проведем в следующей таблице 8.5.

Связь между стоимостью основных фондов и выпуском продукции прямая и высокая.

Расчет коэффициента корреляции по следующей формуле даст такой же результат:

где

_у - среднее квадратическое отклонение результативного признака;

_х - среднее квадратическое отклонение факторного признака.

Таблица 8.5 - Расчет линейного коэффициента корреляции

Номер завода	х	y
		2,4	-4,8	-2,32	11,1,36	23,04	5,38	14,4
		4,0	-2,8	-0,72	2,016	7,84	0,52	32,0
		3,6	-1,8	-1,12	2,016	3,24	1,25	32,4
		4,0	-0,8	-0,72	0,576	0,64	0,52	40,0
		4,5	-0,8	-0,22	0,176	0,64	0,05	45,0
		4,6	0,2	-0,12	-0,024	0,04	0,01	50,6
		5,6	1,2	0,88	1,056	1,44	0,77	67,2
		6,5	2,2	1,78	3,916	4,84	3,17	84,5
		7,0	3,2	2,28	7,296	10,24	5,20	98,0
		5,0	4,2	0,28	1,176	17,64	0,08	75,0
Итого		47,2	-	-	29,340	69,60	16,96	539,1