Уравнение неразрывности струи

Уравнения течения жидкости в трубах переменного сечения

Ограничимся рассмотрением квазиодномерных потоков идеальной жидкости в трубах переменного сечения в условиях, когда влиянием силового поля на поток можно пренебрегать. Направим вдоль оси потока (в общем случае криволинейной) ось Ox, рассматривая ее как декартову ось (рисунок 5.1) (для этого нужно, чтобы радиус кривизны оси Ox был настолько больше поперечных размеров потока, что кривизной можно пренебречь).

Рисунок 5.1

Принимаем также, что длина трубы гораздо больше, чем ее поперечные размеры, и считаем, что

v =v (x,t), ½v ½<<½v ½, ½v ½<<½v ½

,

В этом случае уравнения Эйлера и неразрывности, описывающие тече­ние идеальной жидкости, в пренебрежении малыми величинами принимают вид

(5.1)

DIV- Дивергенция (отлат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле)

Как видим, функции p и r являются функциями только x и t.

В уравнении неразрывности необходимо сохранять все слагаемые, так как это уравнение выражает основной закон природы – закон сохранения массы, и все слагаемые в нем в общем случае имеют одинаковый порядок. Для определения пяти неизвестных (p, r, v, v, v) имеются фактически только первые три уравнения. Чтобы сделать задачу корректной (уравнять число уравнений и число неизвестных), надо исключить из рассмотрения «лишние» неизвестные v и v.

(5.3)

уравнение неразрывности для квазиодномерного потока.

Теперь полная система уравнений для одномерной модели потока идеальной баротропной жидкости может быть записана в виде: (без учета массовых сил)

(5.2)

(5.4)

Так как другие компоненты скорости в одномерной модели течения жидкости не учитываются, то обычно принимают v =v.

Рассмотрим стационарный (скорость в данной точке не изменяется со временем) поток идеальной (нет внутреннего трения) несжимаемой жидкости. В этом случае выполняется закон сохранения массы.

Пусть за время t через сечение трубы s проходит жидкость массой m1 (рис. 2.3):

Так,m =ρV =ρS V t

Тогда через сечение s за тоже время проходит жидкость массой m:

m =ρV =ρS V t

Так как m =m, то S V =S V или

Где сечение трубы меньше, там скорость жидкости больше, и наоборот (если s >s, то v <v).

Уравнение неразрывности: VS = const

- для идеальной жидкости в стационарных условиях произведение скорости на поперечное сечение трубки тока остается неизменным в любом сечении трубки.