Исключение продольных компонент поля

Представление трехмерных векторов

Постановка задачи

Метод эволюционных уравнений

(метод модового базиса)

При помощи метода эволюционных уравнений можно свести исходную трехмерную нестационарную задачу излучения к одномерной нестационарной задаче, тем самым облегчив ее решение в силу уменьшения размерности, но не потеряв явную зависимость полей от времени. Это возможно благодаря тому, что в поперечной плоскости в цилиндрической системе координат будет построен базис, на который и будут спроектированы уравнения Максвелла. Тем самым мы избавимся от зависимостей уравнений от поперечных координат. Полученные одномерные уравнения называются эволюционными. В частном случае они сводятся к трем одномерным нестационарным уравнениям в частных производных.

Запишем Ссистемау уравнений Максвелла:

;
;
;
,

в которой для удобства трехмерные векторы обозначены жирным шрифтом.

Она дополняется Мматериальныеми уравнениями:

;
.

Следствием этих уравнений есть Ууравнение непрерывности:

.

Будем полагать, что параметры среды могут зависеть от продольной координаты и времени:,. Данная исходная задача дополняется начальными (граничными) условиями для полей и токов.

Представим Ттрехмерные векторы в виде суммы и двумерныех и одномерных следующим образом векторы:

;
;
;
.

Используя данные обозначения, представим Ддивергентныеуравнения Максвелла в следующем виде:

.
; (1)
. (2)

Так как ротор произвольного вектора в выбранных обозначениях представляется в виде

,

причем первое слагаемое имеет только продольную составляющую, а второе и третье – поперечную, проекция роторных уравнений Максвелла на ось OZ представляется в виде

Роторные уравнения Максвелла.
Проекция на ось OZ
; (3)
, (4)

а на Проекция на поперечную плоскость –

; (5)
. (6)

Для построения базиса в поперечной плоскости
исключим продольные компоненты поля из системы (1)-(6).

Исключим ение из (5) при помощи (3) и (1), для чего подействуем на левую и правую части выражения (5) операцией
: (5)

,

и в полученное выражение подставим соотношение (1), после чего имеем

. (7)

Для использования выражения (3) необходимо
Усоотношениеравнение (5) записатьшем в форме:
,
умножимть его векторно слева: на и применить известную формулу для двойного векторного произведения; и

,

Ттогда (5) примет вид:

. ()

Подействовав на последнее выражение операцией
()слева, в полученное выражение
можно подставить (3) и получить

(8)

В результате (7) и (8) можно записать в виде

,

(9)

,

где

,

.

Исключим ение из (6) при помощи (4) и (2), для чего подействуем на левую и правую части выражения (6) операцией:

и в полученное выражение подставим соотношение (2), после чего имеем

(10)

Для использования выражения (4) необходимо
Усоотношениеравнение (6) записатьшем в виде:,
умножимть его векторно слева: на и применить известную формулу для двойного векторного произведения; и
,

тогда (6) примет вид

()
Подействовав на последнее выражение операцией
()слева, в полученное выражение
можно подставить (4) и получить

()

Обобщим (10) и(11), записав в виде
(12)

где