Магнитный диполь Герца

Моделью элементарного магнитного излучателя может быть бесконечно малая рамка с током (петля)., для которой в силу равенства входящего и выходящего тока и. Следовательно, скалярный потенциал.

X

Y

Z

O

Для нее в силу равенства входящего и выходящего тока, тогда, следовательно, скалярный потенциал. В силу этого

Ппредставляет интерес только векторный потенциал

, (1)

где.

Если, то, тогда

.

Пользуясь Рразложением в ряд Тейлора с удержанием первых двух слагаемых

, если x – мало, для функции

Пусть тогдаимеем, где.

Тогда подставим в (1) и получим

.

Расстояние до точки наблюдения r в знаменателе первого слагаемого можно вынести за знак интеграла и убедиться, что первое слагаемое дает нулевой вклад в потенциал в силу замкнутости токов. Обозначая производную по времени точкой, перепизапишем

.

Проведем некоторые векторные преобразования с имеющимся вектором.

Так как.к., то

Заменим второе слагаемое согласно вышеуказанной формуле для двойного векторного произведения и получим

.

Подставляя полученное преобразование в выражение для векторного потенциала, с учетом того, что вместо мы можем таким же образом подставить, получим

Докажем, что в нашей задаче вектор.

Домножим на произвольный вектор

,

где градиент действует по штрихованным координатам. Данное равенство легко проверить, используя соотношение

,

следующим образом:

Заменяя подынтегральную функцию, и используя тождество

получим

.

Данное скалярное произведение тождественно равно нулю в силу того, что первое слагаемое может быть преобразовано по теореме Гаусса-Остроградского к интегралу по замкнутой поверхности, на которой токи равны нулю, а второе слагаемое тождественно равно нулю в силу того, что в нашей задаче. То есть,.

Так как вектор был произвольным, то, тогда

.

Введём магнитный момент

, тогда.

Так.как. скалярный потенциал, то

или после подстановки;

.

Если петля с током лежит в плоскости XOY, то магнитный момент направлен вдоль оси OZ. Спроецируем полученный вектор на орты сферической системы координат:

;

;

;

.

В силу осевой симметрии задачи, пренебрегая местом запитки петли, имеем, и, учитывая, что, в силу равенства нулю соответствующих компонент электрического поля, полученного выше, имеем

;

.

Рассмотрим петлю с током и рассчитаем для нее магнитный момент

в двух системах координат.

В цилиндрической системе координат:

,,

.

В сферической системе координат:

т.к., то зададим

,,

Подставляя полученный магнитный момент петли, имеем

;

;

;

;

.

Видно, что волна с наименьшим убыванием в пространстве имеет временную зависимость в виде второй производной от возбуждающего тока. Квазистатическая составляющая убывает обратно пропорционально кубу расстояния, и ее временная зависимость совпадает с временной зависимостью тока. Как и в предыдущем случае, продольная компонента поля убывает быстрее поперечных.