Операции над событиями

1 2 3 4 5 6 7

События. Классификация событий

Пространство элементарных исходов

СОБЫТИЯ. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ.

ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ.

Глава 1. случайные события

Проверочный тест 1

Для того, чтобы построить математическую модель вероятностного эксперимента, необходимо установить, что представляют собой его возможные исходы.

Будем использовать обозначение:

Е = «..........................................................................................................»

Любой мысленно возможный (неразложимый) исход вероятностного эксперимента называется элементарным исходом и обозначается ω.

Пространством элементарных исходов (ПЭИ) Ω вероятностного эксперимента называется.............................................................................................................................................................................................................................

Примеры:

1) Е: подбрасывание монеты.

…………………………………………………………………….

2) Е: сдача студентом экзамена

…………………………………………………………………….

3) Е: подбрасывание двух монет

…………………………………………………………………….

4) Е: осуществление выстрелов по мишени до первого попадания

…………………………………………………………………….

Пространство элементарных исходов называется дискретным если множество его элементов является........................................................................

(Множество называется счетным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между этим множеством и множеством натуральных чисел: 1, 2, 3, … Т.е. элементы счетного множества можно перенумеровать.)

Пространство элементарных событий называется непрерывным если множество его элементов является...........................................

Примеры:

Е: подсчет числа отказов оборудования в течение рабочей смены;

…………………………………………………………………….

Е: измерение продолжительности безотказной работы оборудования;

…………………………………………………………………….

Проверочный тест 2. Определить, дискретно или непрерывно пространство элементарных событий следующих экспериментов:

1. Е: подсчет числа студентов, присутствующих на лекции;

2. Е: измерение отклонения размеров детали от номинала;

3. Е: измерение тормозного пути автомобиля;

4. Е: подсчет числа абонентов, использующих мобильную связь в заданный промежуток времени;

5. Е: измерение скорости автомобиля в момент начала торможения;

6. Е: изучение числа отказов транспортных средств в течение года;

7. Е: осуществление выстрела по мишени.

В теории вероятностей событием называется.............................................................................................................................................................................. Или иначе: событием называется.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

События принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, …

В результате вероятностного эксперимента происходит один из элементарных исходов. Если он благоприятен событию А, то событие А – осуществляется, в противном случае – событие А не осуществляется.

Событие, которому благоприятны все возможные исходы ПЭИ называется.............................................. и обозначается......... Это событие происходит при любом исходе эксперимента.

............................................. называется событие, совпадающее с пустым множеством. Оно обозначается...... Это событие не может произойти ни при одном исходе эксперимента.

Таким образом, до проведения эксперимента известно, что.................................. событие обязательно произойдет, а...................................... не может осуществиться в данном вероятностном эксперименте.

Событие, о котором нельзя сказать заранее, произойдет оно или нет в результате эксперимента, называется..........................................

Пример 1. Е: подбрасывается игральная кость.

Пространство элементарных исходов этого эксперимента можно представить в виде: W =_{……………………………………………………………}

Рассмотрим события:

A – {выпадение четного числа очков};

B – {выпадение числа очков, не большего двух};

C – {выпадение числа очков, кратного трем}.

Эти события легко представить в виде совокупности благоприятных им элементарных исходов:

…………………………………………………………………………….

Приведем примеры достоверного и невозможного событий:

D=W: ……………………………………………………………………..

E= Ø: ……………………………………………………………………..

Пусть рассматриваются два произвольных события А и В, каждое из которых в результате вероятностного эксперимента может произойти ли не произойти. Известны множества элементарных исходов, благоприятных осуществлению этих событий.

Суммой событий А и В (обозначается A È B или A + B) называется событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятных ……………… ……………………………………………………………………………………..…Событие A È B состоит в осуществлении..................................……………… …………………………………………………………………………………….….......................................................................................................................................

Аналогично определяется сумма конечного или счетного числа событий A ₁È A ₂È A ₃È … Благоприятными этому событию являются все элементарные исходы, благоприятные ……………………….……………………. ……………………...... Это событие состоит в осуществлении ………………………………......................…………………………………………

Произведением событий А и В (обозначается A Ç B или AB) называется событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятных осуществлению ………………………………………….............. Событие A Ç B состоит в ………………………………………………………………………………………

Произведение конечного или счетного числа событий А ₁Ç А ₂Ç А ₃Ç … представляет собой событие, состоящее их элементарных исходов, благоприятных осуществлению …………………………………… …………….... Это событие состоит в.............……………………… …………………………….…………………………………………………………

Разностью событий А и В (обозначается A \ B, или A – B) называется событие, состоящее из …………………………………………………………… ………………………………………………………… Событие A \ B состоит в том, что.........................................................………………………………………

В рассмотренном примере 1:

A È B состоит в …………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….................

A Ç B состоит в …………………………………………………………….................

A \ B состоит в ……………………………………………………………..................

A È B = A Ç B = A \ B =

A È С = A Ç C = A \ С =

С È B = С Ç B = С \ B =

Противоположным событию А называется событие......................., состоящее из....................................................................................................................................................................................................................................................

Событие Ā состоит в том, что.......................................................................

В примере 1 противоположные к событиям А, В, С, D, Е:

………………………………………………………………………………

События А и В называются несовместными, если............................

Т.е. несовместные события.......................................................................................

В примере 1 несовместными являются события ………………………

Пример 2. Геометрическая интерпретация операций над событиями. Производится испытание: в прямоугольнике, изображенном на рисунке, выбирается наугад точка. Пространством элементарных исходов W данного эксперимента является множество всех точек данного прямоугольника. Рассмотрим события: A – {выбранная точка попадет в область A }; B – {выбранная точка попадет в область B }.

Области, попадание в которые благоприятно событиям A, , A È B, A Ç B, A \ B, В \ А, изображены на следующих рисунках: