Постановка задачи

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

ТОЧНОСТЬ

ВЕРОЯТНОСТНО-ЗОНАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ

К данным критериям относится целая группа критериев. Данные критерии используют (требуют) дополнительную информацию о шумовых характеристиках объекта:

- обобщенный метод наименьших квадратов - ковариационные матрицы шума;

- максимальное правдоподобие - распределение вероятностей и т.д.

Выбор точности приближения осуществляется исходя из условий задачи и выбранного критерия.

На практике наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов, использующий среднеквадратический критерий.

Пусть задана таблица измерений:

xi	x1	x2	…	xn
F(x)	y1	y2	…	yn

Тогда задача формулируется следующим образом: для функции F(x_i), заданной таблицей, найти функции F определенного вида так, чтобы сумма квадратов:

В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f рассмотрим следующие функции:

- степенная

- показательная

- дробно-линейная

- логарифмическая

- гиперболическая

- дробно-рациональная

- линейная

- квадратный трехчлен

a, b, m, c – неизвестные параметры. Когда осуществлен выбор приближающей функции, то задача приближения сводится к определению значения этих параметров.

Рассмотрим задачу в общем виде.

Приближающая функция имеет общий вид:

Сумма квадратов:

Чтобы найти минимум функции , используем необходимое условие экстремума:

т. е.

Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными а, в, с мы и получили конкретный вид функции F(x, a, b, c).

Естественно, что F(x_i) отличается от y_i, но отношения

будут минимальны в среднеквадратичном случае.

Рассмотрим метод наименьших квадратов для различных функций.