Квазиньютоновский

Нелинеаризуемые функции и методы их оценки

Основные понятия

Виды нелинейной зависимости

Тема 3. Нелинейная регрессия (группа 3.3А)

Зависимость между теми или иными факторами в эконометрике не всегда можно описать с помощью линейной функции. В этом случае применяют нелинейную регрессию. Общий вид:

y_расч=f(x₁) – для однофакторной регрессии

y_расч=f(x₁,x₂,…,x_p) – для многофакторной регрессии

a>1

a<1

Для перехода к линейному виду, уравнение логарифмируют по основанию a:

log_ay=log_aa^bx+ε=bx+ ε

log_ay=bx+ ε

Заменим зависимую переменную log_ay на z:

z= bx+ ε

Частный случай экспоненциальной зависимости – логистическая кривая:

Данная кривая имеет 2 горизонтальные асимптоты y=o, y=1/a и точку перегиба

1/a 1/2a 1/(a+b)

Логистические кривые используются для описания поведения показателей, имеющих определенные уровни насыщения (например, для описания зависимости спроса на товар от дохода).

Линеаризация этой зависимости проводится с помощью перехода к переменным

e^x=t;. Получаем: z=a+bt+ε

Зависимости логарифмического типа имеют вид

a>1

a<1

Обозначим log_ax=z. Получим линейную модель:

Зависимости полиномиального вида:

y=a+b₁x+b₂x²+…+b_px^p+ε

Обозначим x=z₁, x²=z₂,…, x^p=z_p

y=a+b₁z₁+b₂z₂+…+b_pz_p+ ε

Зависимости степенного вида

y=ax^b

Прологарифмируем по основанию e:

ln(y)=ln(a)+b*ln(x)

Если модель по независимым факторам является мультипликативной, то переход к аддитивной модели и как следствие к линейной осуществляется с помощью логарифмирования всей зависимости

3.1.2. Методы оценивания линеаризуемых функций:

Параметры нелинейной регрессии, линеаризуемой с помощью различных преобразований, оценивается МНК.

Для этого минимизируют функционал вида

(3.1)

Рассмотрим на примере для оценки параметров кривой Филипса, определяющей нелинейное отношение между нормативами безработицы и относительными изменениями заработной платы.

, где

y – безработица

x – заработная плата

Для более легкой оценки заменим

Получим функционал вида:

Чтобы определить тип данной функции и оценить параметры и находят:

Затем делаем обратную замену z=1/x и получаем систему нелинейных уравнений

Разрешая систему относительно и, получаем выражения для их оценок.

В случае, когда в уравнении модели нельзя сделать замену переменных или избавиться от нелинейности, используют альтернативные методы нелинейного оценивания, основанные на минимизации функции потерь.

Определение 1.1. Функция потерь LS – сумма квадратов или сумма модулей отношений фактических значений от расчетных.

(3.2)

Нелинейные методы оценивания:

Угловой коэффициент (tg угла наклона касательной графика функции в конкретной точке) равен производной этой функции в данной точке. А скорость изменения в выбранной точке равна второй производной функции в этой точке. Данный метод вычисления значение функции в различных точках для оценивания первой и второй производной, используя эти данные для определения направления изменения параметров минимизации функции потерь.