Рассмотрим два точечных источника которые излучают сферически симметричные гармонические волны с одинаковой частотой
Определим волновую функцию в точке p. Так как волновое уравнение линейно то волновая функция в точку p линейна.
Сначала рассмотрим случай когда фазы колебаний источников одинаковы. Решить задачу в общем случае достаточно сложно. Поэтому рассмотрим приближение, когда точка p находится на большом расстояние от источника настолько большом, что можно считать, что амплитуда колебаний каждого источника одинаковы.
Выясним условия применимости такого приближения
|
(при выполнение нашего условия)
Если выполнить это условие то говорят, что можно пользоваться приближение далекого поля или волновой зоной.
Мы будем наблюдать гармоническую волновую функцию амплитуда которой будет:
- геометрическая разность хода
Условия максимальной амплитуды.
То есть геометрическая разность хода равна целому числу длин волн.
Условие минимальных амплитуд
|
|
Геометрическая разность хода равна нечетному числу длин полуволн.
Рассмотрим более общий случай, когда два источника излучаю волны с различными начальными фазами.
Амплитуда в точке P
- начальная разность фаз
В этом случае условие максимальной амплитуды будет:
Определим угловое расстояние между двумя ближними максимумами. Условие максимума nго порядка:
Условие максимума n+1
Для малых углов , ,
Рассмотрим случай когда источники расположены далеко друг от друга d>>, тогда угловое расстояние между ближайшими максимумами
будет <<1
В § 1.3 было показано, что энергия колебаний пропорциональна A2 поэтому энергия излучения двух источников будет пропорциональна , так как угловое расстояние между ближайшем максимум при мало то на не большом участке поверхности dS будет расположено большое количеством max и min амплитуд.
Поэтому средние значение энергии излучение на единицу площади поверхности будет
A-амплитуда излучения одного источника.
Таким образом если излучают 2 источника
Рассмотрим близко расположенные источника d<<1
Тогда
1 случай
2 случай
§ 2.5 Многолучевая интерференция.
Рассмотри N источников которые излучают сферические волны с одинаковой амплитудой:0
Рассмотрим между источниками d.
Определим волновую функцию в точке p находящеюся в волновой зоне.
При этом учтём
В точке p мы будем наблюдать волновую функцию с амплитудой
Рассмотрим случай когда Вычислим придел этой функции по, Лопиталю находим что . Точно также мы можем определить амплитуду волновой функции когда
|
|
При таких будут наблюдаться max амплитуды, которые называются главными. Если кроме N, 2N …..
условие минимума.
Если условие побочных максимумов.
Следует заметить, что А побочных максимумов неодинакова в отличии от главных
§ 2.6 Дифракция, принцип Гюйгенса
Рассмотрим точечный источник излучения S от которого распространяются сферические волны и которые находиться на большом расстояние от экрана с отверстием. Величина отверстия - D
Определим волновую функцию в точке p которая также находиться на большом расстояние от экрана, но с другой стороны.
Гюйгенс предположил, что волновая функция в точке p будет складываться из волн, функция излучения источника и волн функции от экрана
Если экран закрыть пробкой:
То волновая функция в точке p будет -волны функции от пробки
В результате сложения функций в точке p воловая функция будет равна 0.
То есть волновая функция в точке p,будет с точностью до знака совпадать с волновой функцией излучаемой только пробкой.
Гюйгенс предположил каждую точку волнового фронта в отверстие экрана рассматривать как источник «вторичных» волн.
Волновая функция в точке p, будет равна сумме вторичных волн.
Для того чтобы определить волновую функцию в точке p заметим что волновой фронт в отверстие экрана можно считать плоским так как источник находится на большом расстояние от него.
Разобьём поверхность волн фронта на точечные источники излучения
Каждый источник излучает сферическую волну с одинаковой амплитудой, частотой и одинаковой начальной фазой которую будем считать равной нулю. Так как точка p находиться в волновой зоне то можно допустить, что амплитуда волновой функции от каждого источника одинаковы.
Повторяем выводы § 2.5 получаем
Для того чтобы определить амплитуду волновой функции
в точке
Воспользуемся правилом Лопиталя.
Тогда
При рассмотрение открытой части волнового фронта мы предположим, что источников там очень много
И тогда и sin в знаменателе можно разложить в ряд
Тогда получаем:
Заметим, что амплитуда будет равна 0 если
То есть - условие минимума
Если то мы получим условие максимума
Следует заметить, что амплитуды побочных максимумов будут значительно меньше амплитуды центрального.
После экрана с отверстием мы будем наблюдать волну в виде расходящегося пучка.
Полученный пучок излучения принято характеризовать угловой шириной или расхождением пучка за величину которая выберают половина углового расстояния между ближайшими к нулю нулями амплитуд.
Следует заметить, что размер изображений отверстий на экране будет и будет значительно превышать геометрическое значение изображения отверстия.
|
Проникновения изображения в область геометрической тени называется дифракцией.