Типы конечных элементов (КЭ)

Лекция 2. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Разбиение области на подобласти – первый шаг к решению задачи. Не имеет теоретического обоснования. Зависит от опыта программиста.

Дискретизация области – это задание числа, размеров и формы подобластей. С одной стороны, элементы должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы иметь высокую точность, а с другой стороны – чем меньше элементов – тем меньше объем вычислений. Есть оптимальное количество этих подобластей. Все зависит от градиентов искомой величины в пределах расчетной области. Там где он выше – там элементы должны быть меньше и наоборот.

Одномерные КЭ – отрезок (2(линейный),3(квадратичный) или 4(кубический) узла).Может быть криволинейным. Может иметь переменное поперечное сечение. Часто используется в задачах распространения тепла и в строительной механике при расчетах стержневых элементов (фермы).

Двумерные КЭ – треугольники и четырехугольники (линейные, квадратичные и кубические). Стороны линейных КЭ – прямые линии. Для треугольника минимальное число узлов – 3, для четырехугольника – 4. Добавление узлов может быть на сторонах (криволинейные границы), либо внутри КЭ. Оба типа КЭ можно использовать одновременно, только на нужно иметь одинаковое число узлов на стороне. Толщина КЭ может быть функцией координаты.

Трехмерные КЭ – тетраэдр и параллелепипед (линейные, квадратичные и кубические). Линейные элементы имеют только прямые границы, а квадратичные могут иметь криволинейные поверхности.

Разбиение области на элементы.

Процесс дискретизации делится на 2 этапа:

- разбиение области на элементы;

- нумерация узлов и элементов.

Рассмотри разбиение двумерной области на линейные треугольные элементы. Любая двумерная область делится сначала на 4-х угольные и 3-угольные подобласти, а затем на треугольники. Граница между подобластями проходит там, где изменяются свойства материала, или изменяется геометрия, приложенная нагрузка.

Треугольную область наиболее просто разбить на элементы, если выбрать определенное число узлов вдоль каждой стороны и соединить соответствующие узлы прямыми линиями. Варьирование расстояние между узлами позволяет менять размеры КЭ. Если треугольная подобласть криволинейная, криволинейные границы элементов заменяются на прямые отрезки.

Если на стороне треугольной области выбрано n узлов, то число 3-угольных элементов будет (n-1)².

4-х угольные зоны обычно разбивают на элементы соединением узлов на противоположных сторонах. Пересечение линий образует внутренние узлы. Проведение короткой диагонали разбивает 4-х угольники на треугольники. Использование короткой диагонали предпочтительно. Треугольники близкие к равносторонним приводят к более точным результатам, чем длинные и узкие треугольники.

Число треугольных элементов в четырехугольной зоне 2(n-1)(m-1), где n и m – число узлов на смежных сторонах. Наиболее простой способ изменения размеров КЭ – это неравное число узлов на противоположных сторонах четырехугольника (2 → 3).

Треугольная и четырехугольная подобласти могут иметь общую границу. Число узлов на этой границе для обеих подобластей должно быть одинаковым и относительное положение узлов должно совпадать для обеспечения непрерывности вдоль общей границы элемента.

Обозначение подвижных (кружок) и неподвижных (треугольник) узлов. Моделирование бесконечных областей (граница ставится там, где искомая величина уже практически не меняется).