Неравенство Чебышева

ТЕОРЕМЕ

БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ

НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА, ПОНЯТИЕ О ЗАКОНЕ

Если случайная величина Х с математическим ожиданием М (Х) = А может принимать только неотрицательные значения, то при любом e >0 справедливо неравенство

/ e. (12.1)

Это неравенство называется неравенством Чебышева. Докажем его для случая дискретных и непрерывных случайных величин.

Пусть Х – дискретная случайная величина с законом распределения . Тогда, учитывая неотрицательность значений , имеем:

.

Мы воспользовались условием неотрицательности значений х_i для всех значений i и сходимостью ряда .

Если Х – непрерывная случайная величина с плотностью вероятности f (x), причем f (x)=0 при x < 0, то

.

Пусть в дополнение к математическому ожиданию случайная величина Х имеет еще и дисперсию D (X). Так как случайная величина |Х – М (Х) | всегда неотрицательна, то можно записать

.

Определим вероятность противоположного события:

. (12.2)

В частности, если Х – биноминально распределенная случайная величина с параметрами n и p, то неравенство Чебышева принимает вид:

, так как .

Для случайной величины Х ₁ = Х/n: , .

Следовательно, .

В случае, когда существует М (Х ²), получается неравенство

. (12.3)

Неравенство Чебышева универсально, поэтому оценка вероятности, которую с его помощью получают, очень груба.