2014-02-04
1291
Случайные величины Хi, введенные при рассмотрении схемы Бернулли, независимы и одинаково распределены с математическим ожиданием М (Хi) = р и дисперсией 
. Таким образом, случайную величину 
число появлений “успеха” в n независимых испытаниях – можно считать при больших n приближенно нормально распределенной с математическим ожиданием 
и дисперсией 
. Тогда при больших n вероятность события { X = k } можно приближенно положить равной значению функции плотности вероятности в точке 
.
. Если обозначить через х выражение 
, то 
, где 
функция плотности вероятности центрированного и нормированного нормального распределения. Этот результат называется локальной теоремой Лапласа. Вероятность события 
(< или £ - это неважно) при больших значениях n можно вычислить через значения функции Лапласа
, (12.6)
где 
, 
.
Этот результат называется интегральной теоремой Лапласа.
Выведенные формулы дают хорошее приближение к истинным значениям вероятностей тогда, когда n достаточно велико (50 и более), а вероятность р не слишком отличается от 0,5 в ту или иную сторону. Практически можно судить о возможности замены биноминального распределения нормальным по тому, выполнены ли при данных n и р условия
Эти условия основаны на “правиле трех сигм” для нормального закона (задача 102), когда они соблюдены, можно пользоваться нормальным распределением.
