Основные понятия. Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет следующий вид

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:

Здесь х_j (j=1, n) – переменные (или неизвестные) системы, а_ij (i =1,m; j = 1,n) – коэффициенты при переменных, в_i (i =1,m) – свободные члены.

Решением системы (І.І) называется всякий набор значений переменных х₁, х₂, …, х_n, при котором все уравнения превращаются в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной – в противном случае.

Например, система

совместна, так как она имеет, в частности, такое решение:

х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 0. Система же

несовместна.

Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот. Если какое-либо уравнение системы умножить на постоянный множитель λ ≠ 0, то получится система уравнений, равносильная исходной. Аналогично, если к какому-либо уравнению системы прибавить другое уравнение системы, то получится система, равносильная исходной.

Наконец если, в системе есть уравнение вида

0∙х₁ + 0∙х₂ +... + 0∙ х_n = 0, то такое уравнение можно убрать, получив систему, равносильную исходной.