В гладкой цилиндрической трубе

Как и в случае ламинарного движения, изучение турбулентного движения в трубе сводится к выяснению характера распределения скорости по сечению трубы и к установлению закона сопротивления движению. Полагая суммарное напряжение в рассматриваемом потоке величиной постоянной и принимая гипотезу Прандтля для турбулентных напряжений, запишем уравнение (5.38) в виде

. (5.43)

Опыты показывают, что по мере приближения к стенке турбулентные пульсации затухают, следовательно, уменьшается величина и в непосредственной близости от стенки становится ничтожно малой по сравнению с , так что в пределах пристеночного слоя можно принять .

По мере удаления от стенки роль турбулентных пульсаций возрастает и, начиная с некоторого расстояния, величина во много раз превосходит величину так, что для этой области потока можно принять .

Для пристеночной области потока, часто именуемой ламинарным подслоем,

(5.44)

где –напряжение трения на стенке трубы.

Откуда

Интегрируя последнее уравнение, получим

При постоянная интегрирования С=0. В ламинарном подслое распределение скорости носит линейный характер:

. (5.45)

Обратимся теперь к области турбулентного течения, для которого

. (5.46)

Используя для длины пути перемешивания формулу Прандтля

l= ϰ y, получим

, (5.47)

откуда

. (5.48)

Обозначая

и интегрируя уравнение (5.48), находим

(5.49)

Для определения произвольной С следует в данном случае привлечь условие, относящееся к границе раздела между турбулентным ядром потока и ламинарным подслоем, где

Здесь –толщина ламинарного подслоя, а –скорость на его границе.

Записывая уравнение (5.50) для границы ламинарного подслоя, получим

откуда

(5.50)

Исходя из уравнения (44) для границы ламинарного подслоя, можно написать

так как .

С учетом скорости выражение для можно представить в виде

(5.51)

откуда толщина ламинарного подслоя

(5.52)

Подставляя значение из (51) в (49), получим

(5.53)

а подставляя (5.53) в (5.48), имеем

или

где

Коэффициенты и можно определить опытным путем. Так, в результате опытов Никурадзе получена формула, определяющая распределение скоростей в гладких трубах, в виде

(5.54)

Это уравнение выражает универсальный логарифмический закон распределения скоростей.

Полагая в уравнении (5.54) , найдем скорость на оси трубы ():

(5.55)

Зная закон распределения скоростей, можно найти величину коэффициента гидравлического трения. Для гидравлических гладких труб, исходя из формулы (5.54) для средней скорости потока, можно записать

(5.56)

где =0,223–расстояние от стенки до слоя, в котором скорость равна средней скорости U.

Выше была получена зависимость

подставляя которую в (5.56), найдем

(5.57)

Это известная формула Прандтля для коэффициента гидравлического трения в гладких трубах. Недостаток этой формулы заключается в том, что в ней зависимость от числа Re выражена в неявной форме, поэтому решать её приходится методом последовательных приближений. От этого недостатка свободна эмпирическая формула Конакова

(5.58)

Наряду с логарифмическими формулами для коэффициента сопротивления трубы и для распределения скорости при турбулентном движении существуют степенные, однако, они менее универсальны. Так, широкое применение получила эмпирическая формула Блазиуса, пригодная при значениях числа Рейнольдса, не превышающих :

(5.59)

Этой формуле отвечает степенное выражение для распределения скорости потока по сечению трубы, область применения которого также ограничивается указанным значением числа Рейнольдса:

, (5.60)