Уравнение Рейнольдса

Рис. 7

Действительное значение скорости может быть представлено как сумма осредненной и пульсационной скоростей:

(5.34)

Период осреднения Т должен выбираться достаточно большим по сравнению с периодом пульсаций.

Из равенств (5.34) следует, что осредненные пульсационные скорости должны быть равны нулю. Действительно, подставив под знак интеграла в выражении (5.33) значение , получим

(5.35)

Из равенства (5.35) следует, что

. (5.36)

Если осредненные величины оказываются для разных последовательных моментов времени постоянными, то такое турбулентное движение считают установившимся.

Подставив в уравнение Навье-Стокса вместо компонентов скорости их выражения через осредненные и пульсационные величины для установившегося турбулентного движения, получаем уравнения Рейнольдса:

По сравнению с уравнением Навье-Стокса каждое из уравнений движения системы (5.37) включает еще три дополнительных члена, зависящих от пульсаций скорости. Представив каждый из этих членов, например в форме , перепишем уравнения Рейнольдса, перенося все члены, зависящие от пульсаций, в левую часть. Для краткости напишем только первое уравнение

Теперь мы видим, что наряду с членами вида

выражающими действие вязкостных напряжений, уравнения Рейнольдса содержат члены вида, которые выражают действие напряжений, присущих только турбулентному потоку:

Таким образом, в турбулентном потоке полные касательные напряжения слагаются из вязкостных и турбулентных:

(5.38)

причем турбулентные напряжения выражаются формулой и обладают свойством взаимности