Граничные условия I рода

Рассмотрим два случая: передача теплоты через однородную (однослойную) изотропную плоскую стенку и через многослойную плоскую стенку.

а) Однослойная стенка

Рис. 3. Однослойная плоская стенка. Г.У. I рода.

Дана однородная и изотропная стенка (рис.3) толщиной δ с постоянным коэффициентом теплопроводности λ, два других размера стенки неограниченны. На наружных поверхностях стенки поддерживают постоянные температуры t₁ и t₂. При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении оси Ox, т.е. температурное поле будет одномерным и

∂t/∂y = ∂t/∂z = 0

Тогда уравнение (24) принимает вид:

(25)

В уравнении (25) частная производная заменена полной, т.к. изменение температуры определяется только одной переменной X. Граничные условия в рассматриваемой задаче запишутся сле­дующим образом:

при

при (26)

Уравнение (25) и условия (26) дают полную математичес­кую формулировку рассматриваемой задачи.

В результате поставленной задачи должно быть най­дено распределение температуры в плоской стенке, т.е. t = ƒ(x), и получена формула для определения плотности теплового потока.

Проинтегрируем дважды уравнение (25).

Первое интегрирование дает:

(27)

После второго интегрирования получим:

(28)

Постоянные интегрирования в (28) определяются из гранич­ных условий (26):

при и

при и

Подставляя значения С₁ и С₂ в уравнение (28), получим закон распределения температуры в рассматриваемой плоской стенке или, иначе, выражение для температурного поля:

(29)

Для определения плотности теплового потока воспользуемся законом Фурье

Учитывая, что

после подстановки dt/dx в выражение закона Фурье, получаем:

(30)

В уравнении (30):

t₁ - t₂ = Δt - температурный напор;

отношение λ/δ, Вт/м²К- тепловая проводимость стенки;

обратная величина R_c = δ/λ, м²К/ Вт - термическое сопротивление теплопроводности стенки.

Найдя плотность теплового потока, можно вычислить все тепло, которое передается через поверхность стен­ки F за время τ:

(31)

Если необходимо учитывать, зависимость λ от температуры и известна функция λ = λ(t), то в расчетные уравнения вводит­ся среднеинтегральное значение λ_ср., т.е.

(32)

б) Многослойная плоская стенка

Рассмотрим теплопроводность много­слойной плоской стенки, состоящей из n однородных слоев (рис.4). Заданы толщины слоев δ₁, δ₂, δ₃,..., δ_n, температуры на внешних поверхнос­тях стенки t₁ и t_n+1 (в случае 3-слойной стенки t₁ и t₄), коэффициенты теплопроводности λ₁, λ₂, λ₃,..., λ_n. Примем, что контакт между слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова. Эти темпера­туры t₂ ,..., t_n неизвестны.

Рис.4. Многослойная плоская стенка. Г.У. 1 рода.

Т.к. мы рассматриваем стационарный процесс, то плотность теплового потока для всех слоев будет одинакова, и в соответствии с (30) можно записать:

(а)

Из уравнений (а) найдем частные температурные напоры в каждом из слоев:

(б)

Сложив, левые и правые части уравнений (б), получим:

Отсюда

(33)

где Σδ_i/λ_i - термическое сопротивление теплопроводности многослойной стенки.

Температуры на границах слоев найдутся из выражений (б)

,

В общем случае (i + 1) – я температура найдется по выражению

(34)

2. Граничные условия III рода.

а) Однослойная стенка

Передача теплоты от одной среды (жидкости или газа) к дру­гой через разделяющую их твердую стенку любой форма называется теплопередачей. Теплопередача включает в себя теплоотдачу от более горячей жидкости к стенке, теплопроводность в стенке, теп­лопередачу от стенки к более холодной среде.

Вначале рассмотрим теплопередачу через однослойную стенку.

Пусть плоская безграничная од­нослойная стенка имеет толщину δ (рис.5). Задан коэффициент теплопроводности λ. Граничны­ми условиями Ш рода заданы тем­пературы сред t_ж1 и t_ж2, а такте коэффициенты теплоотдачи α₁ и α₂. Величины t_ж1, t_ж2, α₂, α₁ постоянны и не меняются вдоль поверхности, что дает ос­новании считать, что температу­ра меняется только в направлении оси Ох.

При заданных условиях не­обходимо найти тепловой поток от горячей жидкости к холодной и температуры на поверхности степени t₁ и t₂.

Рис.5. Однослойная

плоская стенка. Г.У. Ш рода.

При стационарном тепловом режиме плотность теплового потока, передаваемого теплоотдачей, от горячей среды к стенке, равна плот­ности теплового потока, передаваемого теплопроводностью, через стенку и равна плотности теплового потока, передаваемого тепло­отдачей, от стенки к нагреваемой среде.

Тогда, используя уравнения (20 и 30), запишем

(35)

Уравнения (35) запишем в виде:

(36)

Просуммировав (36), получим:

()

Отсюда плотность теплового потока, Вт/м²

(37)

Обозначим:

, (38)

К - коэффициент теплопередачи.

Коэффициент теплопередачи К характеризует интенсивность передачи теплоты от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку и численно равен количеству теплоты, которое переда­ется через единицу поверхности стенки в единицу времени при раз­ности температур между жидкостями в один градус.

С учетом (38) уравнение (37) можно записать в виде

(39)

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется термическим сопротивлением теплопередачи:

(40)

Термическое сопротивление теплопередачи складывается из частных термических сопротивлений:

R₁ = 1/α₁ - термическое сопротивление теплоотдачи от горячей жидкости к стенке;

R_c = δ/λ- термическое сопротивление теплопроводности стенки;

R₂ = 1/α₂ - термическое сопротивление теплоотдачи от поверхности стенки к холодной жидкости.

Если рассматривать теплопередачу через многослойную стенку, имеющую n слоев, то для нее

(41)

Отсюда коэффициент теплопередачи для многослойной стенки:

(42)

Плотность теплового потока для многослойной стенки:

(43)

Таким образом, уравнение (38) является частным случаем уравнения (43) при n = 1.

Тепловой поток Q, Вт, через поверхность F при теплопе­редаче равен:

(44)

Температуры поверхностей для однослойной стенки найдем из уравнений (36)

,

или

При теплопередаче через многослойную стенку температура на границе i и (i + 1) слоев найдется по уравнению:

(45)

А температура t_n+1 при n слоях будет равна:

1.8. Стационарная теплопроводность цилиндрических стенок (q_v = 0)