Гармонические колебания

Смещением называется любое отклонение физической величины от ее значения в положении равновесия.

Максимальное смещение А от положения равновесия называется амплитудой ко­лебаний. Другими словами, амплитуда определяет размах колебаний. В нашем примере размах амплитуды колебаний 2А равен смещению шарика из точки Б в точку В.

Таким образом, в крайних положениях состояние шарика характеризуется следующими параметрами: потенциальная энергия максимальна Е _п = Е _{п max}, скорость v = 0, кинетическая энергия Е_к = 0.

При прохождении положения равновесия Е _п = 0, v = v_max, Е _к = Е _{к max}.

В промежу­точных положениях скорость и энергия также имеют промежуточные значения.

Если бы при движении шарика не возникало потерь энергии вследствие сопротивления среды и внутреннего трения, то колебательное движение продолжалось бы бесконечно долго. В реальных же условиях без дополнительного воздействия внешней силы амплитуда колеба­ний будет постепенно уменьшаться и, в конце концов, шарик остановится.

На этом примере можно отметить еще одно важное общее свойство в механических и акустичес­ких колебаниях – переход кинетической энергии в потенциальную и обратно.

Колебательные процессы подразделяются на периодические и непериодические.

Периодическими называются колебания, повторяющиеся через определенный промежуток времени, непериодическими – когда нет полного повторения процесса изменения.

Рисунок 3 – Графики периодических функций

Рисунок 4 – Графики непериодических функций

Среди периодических колебаний очень важную роль играют гармонические колебания.

Гармоническими называются колебания, при которых какая-либо величина изменяется с тече­нием времени по закону синуса или косинуса.

u = Usin (ω t + φ₀), (1)

u = Ucos (ω t + φ₀).

где u – смещение колеблющейся частицы от положения своего равновесия в момент времени t;

U – максимальная амплитуда смещения гармонического колебания. Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).

(ω t + φ₀) – фаза гармонического колебания; представляет собой аргумент синуса или косинуса.Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени.

φ₀ – начальная фаза; характеризует положение точки в начальный момент времени;

ω – циклическая (круговая) частота; равна величине угла поворота, иначе ее называют угловой скоростью. Связь циклической частоты ω с линейной f и периодом Т: если угол поворота φ материальной точки равен 2π, т.е. периоду Т колебаний (исходя из равенства φ = ω t для любого момента времени t) получаем 2π = ω t

ω =, [рад/с] (2)

где f = 1/ Т – линейная частота колебаний (число полных колебаний, происходящих за одну секунду), [1/с], [с^-1], [Гц].

Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t = 0 смещение u = 0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ₀ = 0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t = 0 смещение u = U, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ₀ = 0.

Рисунок 5

Гармонические колебания фи­зического маятника можно зарегистрировать следующим способом. В качестве груза взять небольшой флакон с чернилами, которые мо­гут вытекать через очень маленькое отверстие снизу. Под колеблющимся маятником двигать равномерно по столу бумажную ленту (рисунок 5, а). Полученная на бумаге кри­вая (рисунок 5, б) называется осциллограммой (лат. oscillum — колебание, греч. graphic — пишу) и представляет собой синусоиду или косинусоиду в зависи­мости от выбора начального момента времени наблюдения (момента отсчета времени).

Рисунок 5 – а) пример регистрации гармонических колебаний физического маятника; б) осциллограмма гармонических колебаний

Рисунок 6 – Движение точки по окружности с постоянной скоростью

Чтобы установить основные кинематические признаки гармонических коле­баний, рассмотрим их математическую модель на примере изменения физичес­ких величин, характеризующих движение маленького шарика (материальной точки М_t) по окружности с постоянной угловой скоростью ω (рисунок 6). Начало координат поместим в центре окружности радиуса R. Проследим движение точки М_t ', являющейся проекцией точки М_t на ось Y. Пусть в начальный момент времени материальная точка находилась в положении М₀ и ее радиус-вектор составлял с осью Ох угол φ₀.

Через промежуток времени t точка переместилась в положение М_t, а ее радиус-вектор повернулся на угол Δφ = ω t и составляет в данный момент с осью Ох угол

φ _t = φ₀ +Δφ = φ₀ + ω t.

Тогда смещение u _у1 точки М_t вдоль оси Y есть

u _у1 = U _у sin (φ₀ + ω t), (3)

где u _у1 = ОМ_t – амплитуда колебаний точки М_t 'относительно оси X, равная наибольшему откло­нению точки М_t в данное время от этой оси.

Значение угла φ для любого момента времени t есть

φ = ω t = 2 π t / T,(4)

Отсчет угла φ ведется от оси Х против часовой стрелки. Если бы круговое движение началось из положения φ = φ₀ = 0, то формула для смещения записывалась бы в виде:

u _у = U _у sin ω t = U _у sin(2 π t / T), (5)

Также будет выглядеть формула (5), если φ = 2π, что соответствует полному обороту точки М_t в случае, если движение точки по окружности начнется из положения φ = φ₀ = 0.

Если рассматривать изменение проекции и_х точки М_t на горизонтальную ось X (рисунок 6), то оно описывается выражением

u _х = U _x s in (ω t + φ₀ + π/2) = U _x cos (ω t + φ₀ ). (6)

Таким образом, точка М_t совершает гармонические колебания как относительно оси Y, так и относительно оси X.

Выводы: