Критерии значимости при нормальном распределении

Рассмотрим некоторые стандартные критерии значимости. Предположим, что проверяется гипотеза о среднем значении нормально распределенной совокупности при неизвестной дисперсии Н₀: m = m_0. Статистикой критерия может служить величина

распределенная по стандартному нормальному закону.

Если же дисперсия неизвестна, то для проверки гипотезы Н₀: m = m₀ используется статистика

имеющая распределение Стьюдента с (n - 1) степенью свободы.

Пример

Проверить гипотезу о том, что средний диаметр валиков, изготавливаемых на станке – автомате, равен m₀ = 12 мм, если по выборке из n = 16 валиков найдены среднее значение x = 11,7 мм и несмещенная дисперсия s² = 0,25 мм². Распределение диаметра валика предполагается нормальным.

Проверяется нулевая гипотеза Н₀: m = m₀ при альтернативной гипотезе Н₁: m < m₀. Принимаем уровень значимости α = 0,05. Выборочное значение статистики Стьюдента по формуле

t_в = (11,7 – 12)*4 / 0,5 = -2,4.

Для левосторонней критической области положение границы

z_кр = z_α = t _0,05(15) = -t_0,95 (15) = -1,753.

Рисунок – Положение критической области при проверке гипотезы о диаметре валиков

Выборочное значение статистики – 2,4 попало в критическую область, нулевая гипотеза о том, что средний диаметр валиков равен 12 мм, отвергается.

Часто на практике возникает задача о сравнении средних значений двух нормально распределенных совокупностей, т.е. о проверке гипотезы Н₀: m₁ = m₂. Если соответствующие дисперсии известны, то в качестве статистики критерия принимается величина

распределенная по стандартному нормальному закону.

Пример

Используя двусторонний критерий, проверить гипотезу о равенстве внутренних диаметров втулок, изготавливаемых на двух станках по одному чертежу. Из деталей, изготовленных на первом станке, отобрано n₁ = 12 втулок, при этом средний диаметр x₁ = 8,5 мм, на втором станке – n₂ = 14, x₂ = 8,3 мм. Распределение диаметров предполагается нормальным, дисперсии известны и равны соответственно σ₁² = 0,2 мм², σ₂² = 0,25 мм².

Нулевая гипотеза Н₀: m₁ = m₂ при альтернативе Н₁: m₁ ≠ m₂. Принимаем уровень значимости α = 0,05.

Выборочное значение статистики определяется по следующей формуле:

u_в = (8,5 – 8,3) / (0,2/12 + 0,25/14)^1/2 = 1,08.

Для двусторонней критической области положение границ соответственно равно:

z_кр1 = z_α/2 = u _0,025 = -u_0,975 = -1,96;

z_кр2 = z_1-α/2 = u _0,975 = 1,96.

Выборочное значение статистики 1,08 попало в область принятия решения, нулевая гипотеза о том, что диаметры втулок одинаковы, принимается.

Рисунок – Положение критической области при проверке гипотезы о диаметре втулок

Аналогичным образом решаются вопросы проверки гипотез о дисперсиях. В частности, если проверяется гипотеза H₀: σ₁² = σ₂² о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей при неизвестных математических ожиданиях, используется статистика

имеющая распределение Фишера с числами степеней свободы (n₁– 1) и (n₂– 1), где n₁ и n₂ – объемы соответствующих выборок, s₁² и s₂² - несмещенные дисперсии; предполагается, что s₁² > s₂².