Все доказанные свойства справедливы для определителей любого порядка

0 0 0

Свойства определителей.

1. В результате транспонирования величина определителя не меняется.

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₂₂ а₃₂ а₂₁ а₃₁ а₂₁ а₃₁

∆ = а₂₁ а₂₂ а₂₃ = а₁₁ - а₁₂ + а₁₃ = ∆

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₂₃ а₃₃ а₂₃ а₃₃ а₂₂ а₃₂

2. ∆ = а₂₁ а₂₂ а₂₃ = 0

а₃₁ а₃₂ а₃₃

3. Общий множитель элементов какого-нибудь ряда можно вынести за знак определителя.

а₁₁ а₁₂ а₁₃

kа₂₁ kа₂₂ kа₂₃ = ka₂₁A₂₁+ ka₂₂A₂₂ + ka₂₃A₂₃ = k ∆

а₃₁ а₃₂ а₃₃

4. Если в определителе две строки (два столбца) поменять местами, определитель меняет знак на противоположный.

5. Если в определителе два столбца одинаковые, определитель равен нулю.

а₁₁ а₁₁ а₁₃

∆ = а₂₁ а₂₁ а₂₃ = -∆ (Если поменять 1 и 2 столбцы местами, св.4);

а₃₁ а₃₁ а₃₃

6. Если в определителе элементы двух рядов пропорциональны, определитель равен нулю. Вытекает из свойств 3 и 5.

7. Сумма произведений элементов какого-нибудь ряда на алгебраические дополнения другого ряда равна нулю.

Доказательство:

Рассмотрим определитель

а₃₁ а₃₂ а₃₃

∆ = а₂₁ а₂₂ а₂₃ = 0 (по свойству 5)

а₃₁ а₃₂ а₃₃

Разложим этот определитель по элементам 1-й строки (теорема Лапласа). ∆ = a₃₁А₁₁ + а₃₂А₁₂+ а₃₃А₁₃ = 0. Здесь мы видим сумму произведений элементов третьей строки определителя ∆ и алгебраических дополнений 1-й строки, и эта сумма равна нулю.

8. Сумма произведений чисел b₁, b₂ , b₃ на алгебраические дополнения любого столбца равна определителю, который получается из данного определителя заменой элементов этого столбца столбцом из чисел b₁, b₂, b₃.

b₁ а₁₂ а₁₃

b₁A₁₁+ b₂A₂₁ + b₃A₃₁ = b₂ а₂₂ а₂₃

b₃ а₃₂ а₃₃

9. Если элементы какого-нибудь ряда, умноженные на одно и тоже число, прибавить к соответствующим элементам другого ряда, величина определителя не изменится.

а₁₁ а₁₂ а₁₃+k а₁₁

а₂₁ а₂₂ а₂₃+k а₂₁ = (a₁₃+ka₁₁)A₁₃+(a₂₃+ka₂₁)A₂₃+(a₃₃+ka₃₁)A₃₃=

а₃₁ а₃₂ а₃₃+k а₃₁

= a₁₃A₁₃+a₂₃A₂₃+a₃₃A₃₃+k(a₁₁ A₁₃+a₂₁ A₂₃+a₃₁ A₃₃)= ∆ + k0 = ∆

_{(из свойства 7)}

10. Для квадратных матриц |AB|=|A|*|B|

Примеры. Вычислить определители.

1. 1 7 0

2 -1 -3 = 2 - 21*5 + 0 – 0 - (-3)*41 - 14*2 = 2 -105+12-28 =14-133=-119

5 4 2

2. + + +

4 6 -2 1 (-4) (- 6) (2) 0 0 0 1

1 -1 3 5 = -19 -31 13 5 19 31 13

3 -10 2 1 -1 -16 4 1 = -1 1 16 4 =

6 0 12 2 -2 -12 16 2 2 12 16

19 31 13 19 31 13 19 31 13

= -2 1 16 4 = -2 1 16 4 = -2 1 26 0 =

1 6 8 0 -10 4 0 -10 4

= -2 * (12*26*4 + 130 – 31*4) = -4 * (12*26*2 + 65 – 31*2) = -4 * (12*26*2 + 3)

Замечание. Так как всякий определитель связан с квадратной матрицей, то все доказанные свойства можно «привязать» к матрице.

Например. Если элементы двух строк квадратной матрицы равны, то определитель этой матрицы ∆ = |A|=0.

Лекция 2. Обратная матрица.

Число b называют обратным по отношению к числу a, если ab=1 В этом случае b== a^-1 aa^-1 ≡ 1

Определение. Матрица В называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на матрицу А слева или справа получается единичная матрица: AB=BA=E

Аналогично числам можно ввести понятие обратной матрицы.

В этом случае для обратной матрицы В вводится обозначение В=А^-1.

Из свойств определителей и условия A^-1A=AA^-1=E следует

| А^-1А|=| А^-1||А|

| А^-1|*|А|= 1, |А^-1|=, |А|≠ 0

|А^-1А|=| Е|= 1

Очевидно, говорить о существовании обратной матрицы для матрицы А можно лишь том случае, если │А│≠ 0. В этом случае матрица А называется невырожденной. Если |A|=0, то матрица А называется вырожденной(особенной).

Вырожденная матрица не имеет обратной матрицы.

│А│≠ 0 - необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.

Теорема. Если матрица А невырожденная, то существует обратная матрица А-1 и при этом единственная, для которой справедливо равенство: А*А-1 = А-1 *А = Е

Справедлива следующая теорема.