Определители квадратных матриц и их свойства

Пример.

Умножение матриц.

Умножение матрицы на число.

Сложение матриц.

Операции над матрицами.

Над матрицами можно проводить все линейные операции, известные из курса алгебры. Причём, эти операции подчиняются всем законам линейной алгебры.

Пусть А=(a_ij)_mxn и B=(b_ij)_mxn матрицы одинаковой размерности. Суммой матриц А и В называется матрица С той же размерности.

C = A+B=(a_ij +b_ij)_mxn

Произведением матрицы А=(a_ij) на число k называется матрица

B=kА=(ka_ij)_mxn

Эти операции подчиняются следующим свойствам:

1. А+В=В+А – переместительность.

2. А+В+С=(А+В)+С=А+(В+С) – сочетательность

3. А+0=А

4. kA=Ak

5. k(A+B)=kA+kB – распределительность относительно числового множителя.

6. (k₁+k₂)A=k₁A+k₂A – распределительность относительно матричного множителя.

7. k₁Ak₂=(k₁k₂)a=k₁(Ak₂)

Это новая операция, не относящаяся к линейным операциям.

Пусть даны две матрицы А = (аij)mxр и В = (bij)pxn. Произведением этих матриц называется матрица С = (cij)mxn, каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В.

… … …. … … b_ij …

А = а₂₁ а₂₂ …. а_2n - i - строка B = … b_2j …

………………………..……………

… b_pj … _pxn

j - столбец

_{j столбец}

C_mxn = C_ij ^{i строка}

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + …+ aip bpj

3 1 6 1 4 3*1+1*2+6*(-1) 12+3-6 - 1 9

0 -1 2 2 3 = 0*1+(-1)*2+2*(-1) 0-2-2 = - 4 -4

5 2 4 3 _x3 -1 -1 _3x2 5+4-4 20+6-4 _3x2 5 22

Из определения произведения матриц следует, что не всякие матрицы можно умножать. А это означает, что из существования произведения АВ не вытекает существование ВА.

Действительно B_pxn*A_mxp не имеет смысла, если m≠n.

Если перемножаемые матрицы квадратные, то существуют и АВ и ВА, но АВ≠ВА в общем случае, то есть переместительный закон не имеет места при умножении матриц. Другие известные законы справедливы.

1. (А + В)С = АС + ВС (без перестановки)

2. k(AB) = (kA)B = A(kB)

3. ABC = (AB)C = A(BC)

4. AE = EA, если Е, А – квадратные матрицы, одинаковой размерности.

5. A^p = A*A*A…A - (р раз)

Транспонирование матриц.

Если в матрице A_mxn строки и столбцы поменять местами, то полученная матрица называется транспонированной по отношению к исходной матрице.

а₁₁ а₂₁ …. a_m1

A^'=А^т = а₁₂ а₂₂ …. a_m2

…………………

а_1n a_2n …. a_{mn nxm}

Сама операция называется транспонированием.

1.(A')' = A 3.(A+B)' = A'+B'

2.(kA') = kA 4.(AB)' = B' A'

A = (a₁₁) ∆=|A| = a₁₁

а₁₁ а₁₂ а₁₁ а₁₂

A_2x2 = │А₂₂│= = а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁ – число, которое

а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂ называется определителем 2-го

порядка.

Для матрицы А_3х3 вводится понятие определителя 3-го порядка

.

a₁₁ а₁₂ а₁₃

∆ а₂₁ а₂₂ а₂₃ = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ + а₂₁ а₃₂ а₁₃-а₁₃ а₂₂ a₃₁ -

А₃₁ а₃₂ а₃₃ - а₂₃ а₃₂ а₁₁- а₁₂ а₂₁ а₃₃

Для вычисления определителя используется правило треугольника

......

......

......

+ -

Аналогично определителю 3-го порядка вводится понятие определителя n-го порядка

Определение1. Если в определителе 3-го порядка вычеркнуть ряды, содержащие элементы aij, оставшиеся элементы образуют определитель 2-го порядка, который называется минором элемента aij.

а₂₂ а₂₃

а₁₁ М₁₁= a_ij M_ij

а₃₂ а₃₃

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор этого элемента, умноженный на (-1)i+j

aij Аij = (-1)i+j * Mij

для опреде для определителя любого порядка.

Например, a₂₁ А₂₁ = - M_21, a₃₁ А₃₁ = M₃₁

Теорема Лапласа. (Докажем для определителей 3-го порядка). Рассмотрим определитель ∆, сгруппировав попарно слагаемые, содержащие элементы какого-нибудь ряда, (например, 1-ой строки.)

∆ = а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₂₁а₃₂а₁₃ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₂₃а₃₂а₁₁ - а₁₂а₂₃а₃₃ =

= а₁₁(а₂₂а₃₃ – а₂₃а₃₂) – а₁₂(а₂₁а₃₃ – а₂₃а₃₁) + а₁₃(а₂₁а₃₂ – а₂₂а₃₁) =

а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₃ а₂₁ а₂₂

= а₁₁ - а₁₂ + а₁₃ = ∆

а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₃ а₃₁ а₃₂

∆ = а11А11 + а12А12 + а13А13

Теорема. Всякий определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь ряда на свои алгебраические дополнения.