2014-02-05
895
Ранг матрицы.
Алгоритм вычисления обратной матрицы.
1. Находим определитель |A|. Если │А│≠ 0,то обратная матрица существует.
2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений матрицы А.
А11 А12 А13
А = А21 А22 А23
А31 А32 А33
3. Полученную матрицу транспонируем
А11 А21 А31
А12 А22 А32 = Ã
А13 А23 А33
Назовём эту матрицу присоединённой.
4. Все элементы присоединённой матрицы делим на определитель |A|.
│А-1│ = * Ã
Проверка. Если │А-1│ =* Ã = Е, то обратная матрица найдена верна
Пример. Найдем обратную матрицу, если
4 -8 -5
А = -4 7 -1
-3 5 1
1. 4 -8 -5 24 -43 0
|А| = -4 7 -1 = -4 7 -1 = 24*12- 7*43 = 288 – 301 = -13 -3 5 1 -3 5 1-3 5 1 -7 12 0
-7 12
2. 7 -1 -4 -1
А11 = = 7 + 5 = 12, А12 = - = 7, А13 = 1,
5 1 -3 1
-8 -5 4 -5
А21 = - = -17, А22 = = -11, А23= 4,
5 1 -3 1
А31 = 43, А32= 24 А33= - 4
12 7 1
-17 -11 4;
43 24 -4
3. 12 7 1
à = -17 -11 4;
43 24 -4
4. Обратная матрица
- -
А-1 = - -
- -
Понятие ранга матрицы - одно из важнейших для решения многих прикладных задач.
Пусть дана матрица размерности m х n. Вычёркивая произвольно строки и столбцы матрицы, можно в ней вычленять квадратные матрицы различных порядков.
|
|
|
а11 а12 а13 а14 - ЧЕТЫРЕ МАТРИЦЫ 3-ГО ПОРЯДКА
а21 а22 а23 а24
а31 а32 а33 а34 - 18 МАТРИЦ 2-ГО ПОРЯДКА.
Например:
а11 а12 или а22 а23
а21 а22 а32 а33
Определители этих матриц назовём минорами соответствующих порядков. Например, минор 3-го порядка
а11 а12 а13 Среди этих миноров могут быть нулевые
а21 а22 а23 и ненулевые миноры.
а31 а32 а33.
| Определение. Наивысший из порядков минора, отличный от нуля, называется рангом матрицы и обозначается символом rang A=r. |
Очевидно: а) rang A≤ min (m, n);
б) если А – невырожденная квадратная матрица, то rang A=n;
Пример. Найти ранг матрицы А
1 4 7 12
А = 3 -1 0 13 rang А≤ min (3;4)
4 16 28 48
Все миноры 3 порядка равны нулю (т.к. элементы 3-й строки в любом миноре пропорциональны элементам 1-й строки).
Рассмотрим минор 2-го порядка 1 4 = - 13 ≠ 0
3 -1
существует минор 2-го порядка не равный нулю. Значит, rang А=2.
Вычисление всех миноров в общем случае достаточно громоздкая операция. Для упрощения этой операции используются преобразования матрицы, сохраняющие её ранг. Такие преобразования называются эквивалентными или элементарными. Они основаны на свойствах определителей:
1. Если ряд матрицы состоит из нулей, его можно отбросить, ранг при этом сохраняется.
2. При транспонировании матрицы её ранг не меняется.
3. Ранг матрицы не изменится, если элементы любой строки умножить (разделить) на одно и то же число.
4.Ранг не меняется от перестановки рядов матрицы.
5. Ранг матрицы не изменится, если элементы любой строки, умноженные на одно и то же число, прибавить к соответствующим элементам другой строки.
С помощью эквивалентных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду.
|
|
|
Пример.
1 3 7 2 5 + (3) (-2)
-1 0 4 8 3
3 6 10 -4 7
2 -3 10 4 4
1 3 7 2 5 1 3 7 2 5
0 3 11 10 8 => 0 3 11 10 8 (3)
0 -3 -11 -10 -8 0 -9 -4 0 -6
0 -9 -4 0 -6
1 3 7 2 5 1 3 7
0 3 11 10 8 М = 0 3 11 = 1*3*29 = 87≠ 0
0 0 29 30 18, 0 0 29
rang A4х5 = 3.
строк (столбцов).
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) её строк (столбцов). Рассмотрим матрицу
a11 a12 … a1n e1
a21 a22 … a2n e2
A= ……………… -
ai1 ai2 … ain ei
……………… -
am1 am2 …amn em
Для строк введем обозначении еi = (аi1 аi2 … аin) для i=1,m.
Арифметические операции над строками матрицы (сложение строк, умножение строки на число) проводятся поэлементно.
Говорят, что строка ek = (ek1 ek2 … ekn) является линейной комбинацией строк e q и ep если существует два таких числа λq, λp (одновременно не равные нулю), что выполняется условие
| ek = λqeq + λpep |
Аналогично вводится понятие линейной комбинации для любого числа строк.
| Определение. Строка em называется линейной комбинацией строк e1, e2, …, em-1, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа λ1, λ2, …, λn, т.е. m-1 em = λ1e1 + λ2e2 + … + λm-1em-1 =∑λi ei i=1 |
Пример. Дана матрица
| е3 = 2е1 + е2 |
А= 0 2 -1 3 2 е2
2 10 3 15 12 е3
| Определение. Строки матрицы e1, e2, …, em называются линейнозависимыми, если существуют такие числа λ1, λ2, …, λm, не равные нулю одновременно, что линейная комбинация m λ1e1 + λ2e2 + … + λm em =∑λi ei = 0 – нулевая строка i-1 |
m
Если линейная комбинация ∑λi ei ≠ 0, строки матрицы называются линейно
в противном случае - линейно независимыми.
В рассмотренном выше примере 2е1 + 1е2 – 1е3 = 0, значит, строки линейно зависимы (λ1= 2, λ2= 1, λ3= - 1).
| Теорема. Ранг матрицы А равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов) и наоборот. |
Все линейно независимые строки называются базисным. Любую строку матрицы можно представить как линейную комбинацию базисных строк.
