Задача 3. Линейная плотность стержня при неравномерном распределении массы.
Задача 2. О производительности труда.
Задача 1. Скорость прямолинейного неравномерного движения.
Определение производной.
Задачи, приводящие к понятию производной.
Задачи, приводящие к понятию производной.
Лекция 7.
Производная, её механический, экономический и геометрический смысл.Правила дифференцирования.
Цель: Четкое представление понятия производной, её механического, экономического, геометрического смысла. Умение составить уравнение касательной к кривой. Понимание правил дифференцирования.
Задача: Овладение техникой дифференцирования.
7.1. Задачи, приводящие к понятию производной. Производная, её механический, экономический и геометрический смысл.
7.2. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.
7.3. Правила дифференцирования. Таблица производных.
Пусть точка движется прямолинейно, неравномерно и известен закон движения S=S(t). Требуется найти мгновенную скорость точки.
|
|
Очевидно, к моменту времени tпройден путь S(t). К моменту времени t= t+ пройден путь S(t)=S(t+ ). за промежуток времени пройден путь =S(t)-S(t) или +)- S(t). Средняя скорость в течение промежутка времени Vср=.
При малых значениях можно принять V()Vср.
Мгновенная скорость: V()=Vср= (7.1)
Пусть функция u(t) определяет количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент времени t. За период времени t – t= Δt произведено продукции Δu = u(t+ Δt) – u(t).
- средняя производительность труда в промежутке времени [t, t]. При малых Δt Z(t)Zср=.
Z(t)= (7.2)
p(x)= pср = (7.3)
Задача 4. О касательной к кривой.
Пусть точка М(ху) принадлежит кривой у=f(x). М(х,у)-произвольная точка на кривой. Пусть Δх → 0. Тогда х → хи точка М по кривой приближается к точке М.Секущая ММ поворачивается вокруг точки М, стремясь занять положение касательной МТ.
В этом случае α→ φ, tg
Kkac= (7.4)
Рассматривая четыре различные по смысловому содержанию задачи, обнаруживаем, что они совершенно одинаковы по математической структуре: находим
1. Значение некоторой величины в начальный момент(или в начальной точке);
2. Приращение этой величины в зависимости от приращения аргумента(S,);
3. Среднюю скорость изменения этой величины ();
4. Переходим к пределу.
Эти пределы играют чрезвычайно важную роль в математическом анализе и вообще в математике, являясь основным понятием теории дифференциального исчисления.
Замечание. Любое изменение одной величии относительно другой можно понимать как движение (прогресс).
|
|
Под скоростью движения понимается изменение одной величины, отнесенное к единице другой величины.
Рассмотрим произвольную функцию y=f(x).
Пусть y=f(x) непрерывна в точке х и некоторой её окрестности. Если аргумент х получил приращение х, то функция получила приращениеу.
Согласно схеме (1)-(4)можно составить отношение .
Определение. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю(если этот предел существует) называется производной функции f(x).
(7.5)
Операция отыскания производной называется дифференцированием функции. Функция, имеющая в точке х производную, называется дифференцируемой в этой точке. Раздел математики, занимающийся теорией производных, называется дифференциальным исчислением.
В соответствии с определением производной и пределами (1)-(4) следует:
V()=; ρ k= |
(7.6)
Из (7.6) следует:
· С механической точки зрения: -мгновенная скорость движения в момент времени ;
· Экономический смысл производной: -мгновенная производительность труда ;
· Геометрический смысл производной: - угловой коэффициент касательной к кривой в точке М.
Уравнение касательной к кривой в точке Мимеет вид:
. (7.7)
Теорема. Если функция у=f(x) дифференцируема в точке , то она в ней непрерывна.
Доказательство. Функция у=f(x) дифференцируема в точке ,следовательно существует:
В этом случае ,откуда получаем
,
Следовательно ,
Т.е у=f(x) непрерывна в точке .
Таким образом, дифференцируемость функции есть достаточное условие непрерывности функции (из дифференцируемости функции следует её непрерывность).
Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности не вытекает дифференцируемость функции.
Например, у=|х|. (Рис.7.2.3)
Рис.7.2.3
Найдем .
Если >0, то
Если <0,то .
не существует.
Функция у=в точке х=0 непрерывна, но не дифференцируема (нет единственной касательной). Непрерывность- необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости.
Рис 7.1.4
Функции, представленные на рис 7.1.4 не дифференцируемы, в точках хотя и непрерывны.
Условие дифференцируемости соответствует условию гладкости кривой.