Операции над множествами

Способы задания множества

Все элементы некоторого определенного множества обладают некоторым свойством, общим для всех элементов этого множества. Например: множество всех четных чисел; множество всех белых гусей; множество букв русского алфавита.

Тот факт, что х является элементом множества М, записывается так: х Î М. В этом случае говорят, что х входит в М, содержится в М или принадлежит М. Если х не является элементом множества М, то пишут х Ï М.

Определение. Множество считается заданным, если или перечислены все его элементы (только для конечных множеств), или указано свойство, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству.

Первый вариант будем записывать так: М = {m₁,m₂,..., m_k}, например, М= {0, 1}.

Второй вариант задания будем записывать так: М= {b | P(b)}. Такая запись читается как: М состоит из тех (всех) элементов b, которые обладают признаком Р. Например, М = {n | n Î ℕ, n < 5} означает: М составляют только те натуральные числа, что меньше пяти.

Итак, запись М = {х | Р(х)} означает: множество М состоит из всех элементов х, обладающих признаком Р.

Например, запись М = {х | х³ + 3^.х² + 2^.х = 0} означает, что множество М содержит только корни данного уравнения, т.е. числа {0; -1; -2}.

Запись А = {х | х ≥ 7, х Î ℕ } читается так: для любых натуральных х, начиная с 7.

Запись B = { b ç b ² – 1 = 0, b – действительное число} – множество, состоящее из двух элементов, B = {– 1, 1}.

То, что некоторое множество М состоит из элементов x, y, …, t,… записывают так: М ={ x, y,…, t,…}, где многоточием обозначаются не выписанные элементы. Например: A ={ a, b, c }, M ={2,4,6,8,10,…}.

То, что множество состоит из элементов, обладающих некоторым свойством, записывают так: М ={ x: ………}, где на месте многоточия перечисляют свойства элементов. Читается это так: «множество М состоит из элементов х, таких, что…». Например: M ={ x: x = a /2, где а и x Îℤ}.

Для некоторых числовых множеств имеются свои способы записи:

Отрезок числовой оси: [ a, b ]={ x: a ≤ x ≤ b, где a, b, x Îℝ и a ≤ b }.

Интервал: (a, b)={ x: a < x < b, где a, b, x Îℝ и a < b }.

Полуинтервал: (a, b ]={ x: a < x ≤ b, где a, b, x Îℝ и a < b },

или [ a, b)={ x: a ≤ x < b, где a, b, x Îℝ и a < b },

или (-∞, b ]={ x: x ≤ b и b, x Îℝ },

или [ a, +∞)={ x: x ≥ a и a, x Îℝ }.

Определение. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. A = B тогда и только тогда, когда для любого элемента a Î A следует: a Î B, и для любого элемента b Î B следует: b Î A.

Таким образом, множество однозначно определяется своими элементами и не зависит от порядка их записи. Например, множество из трех элементов a, b и c допускает 6 видов записи: { a, b, c }= { a, c, b }= { b, a, c }= { b, c, a }= { c, a, b }= { c, b, a }.

Определение. Если все элементы множества A являются одновременно элементами множества B, то A называется подмножеством или частью множества B.

Пишут A Í B или В Ê А, читается: А входит в В, или А содержится в В, или В содержит А, или В покрывает А. Множество В называется в этом случае надмножеством А. Таким образом, A Í B тогда и только тогда, когда для любого элемента a Î A следует: a Î B.

Очевидно, если A Í B и В Í А, то А = В.

Свойства подмножеств:

a) Пустое множество является подмножеством любого множества: Æ

b) Всякое множество является своим собственным подмножеством:

Определение. Если A Í B и А ¹ В, то А называется собственным подмножеством множества В, а В – собственным надмножеством множества А.

Пишут A Ì B или В É А. Таким образом, A Ì B тогда и только тогда, когда для любого элемента a Î A следует: a Î B, и существует элемент b Î B такой, что b Ï A.

Замечание. Не следует считать равносильными отношения принадлежности и вхождения одного множества в другое . Можно привести следующий пример. Пусть А – множество всех студентов данной группы, а В – множество всех учебных групп данного института. Здесь , но , поскольку элементы этих множеств разнородны. Этот пример показывает также, что элементами множеств могут являться другие множества.

Определение. Множество всех подмножеств данного множества А называется булеаном А (также степенью множества) и обозначается P (A) или 2 ^А. Число элементов в булеане конечного множества из n элементов равно 2 ⁿ.

Пусть множество А = {1, 2} состоит из двух элементов 1, 2. Тогда множество P (A) включает в себя пустое множество Æ, два одноэлементных множества {1} и {2} и само множество А = {1, 2}, т. е.

P (A) = {Æ, {1}, {2}, {1, 2}}.

Мы видим, что множество P (A) состоит из четырех элементов (4 = 2²).

Определение. Универсальным называют множество U, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком. Например, множество планет Солнечной системы U = {Земля, Марс, Венера, Юпитер, Сатурн, Уран, Плутон, Меркурий, Нептун}.

Заметим, что понятие универсального множества четко не определено, т.е. некорректно. U можно включить в другое множество W, и оно тоже будет универсальным. Например, долго считалось, что множество действительных чисел ℝ универсально (т. е. описывает всю математику), пока не открыли поле комплексных чисел ℂ.

Рассмотрим операции над множествами:

1) Операция включения ():

Определение. Множество А включается в множество В или множество А является подмножеством множества В (АВ), если любой элемент множества А содержится в множестве В.

Для графического изображения операции включения множеств используются диаграммы Эйлера-Венна:

Определение. Множество А строго включается в множество В, если во-первых А является подмножеством В и существует элемент bÎВ, такой что bА.

2) Операция объединения ( È ):

Определение. Объединением двухмножеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Обозначается С = А È В.

Для графического изображения операции объединения множеств используются диаграммы Эйлера-Венна, где множества представлены как замкнутые области, а результат операции показан заштрихованной частью (см. рис.1).

3) Операция пересечения ( Ç ):

Определение. Пересечением двухмножеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В.

Обозначение С = А Ç В.

Диаграмма Эйлера-Венна для пересечения двух множеств показана на рис.2.

Определение Множества называются дизъюнктными (или непересекающимися), если .

4) Операция разности множеств (\):

Определение. Разностью двухмножеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Обозначается: С = А \ В.

Диаграмма на рис.3.

Очевидно, что если , то .

5) Операция абсолютного дополнения ( ):

Определение. Абсолютным дополнением множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A, таким образом, или U \ A, где U – универсальное множество. Диаграмма Эйлера-Венна на рис.4.

Определение. С_Е называется дополнением множества А относительно множества Е, если А Í Е и C_Е = Е \ A.

6) Операция симметрическая разность( Å ):

Определение. Симметрической разностью двух множеств A и B называется объединение двух разностей A \ B и B \ A, т.е. A Å B = (A \ B)(B \ A). Диаграмма на рис.5.

Примеры:

1) Пусть , . Тогда ; ; ; ; .

2) Пусть - отрезок, - полуинтервал. Тогда ; ; ; ; ; ; .

3) Пусть А – множество прямоугольников, В – множество всех ромбов на плоскости. Тогда ={все прямоугольники и ромбы}; ={все квадраты}; А \ В ={прямоугольники, за исключением квадратов}; В \ А ={ромбы без квадратов}.