Свойства множественных операций

1 2 3 4 5 6 7

1) Для любого множества A – свойство «нуля».

2) Для любого множества A Þ A ∪U = U, A ∩U = A – свойство «единицы».

3) Для любого множества A – идемпотентность.

4) Для любых множеств А и В и – коммутативность.

5) Для любых множеств А, В и С и – ассоциативность.

6) Для любых множеств А, В и С и – дистрибутивность объединения и пересечения.

7) Для любого множества A – закон двойного отрицания.

8) а) Для любых множеств А и В и – законы де Моргана для абсолютного дополнения.

б) Для любых множеств А, В и С и – законы де Моргана для относительного дополнения.

9) Если .

Если .

10) Для любых множеств А и В и – законы поглощения.

§ 5. Векторы и прямые произведения

Определение. Вектором (кортежем) в линейной алгебре и дискретной математике называют упорядоченный набор элементов. Это не есть определение вектора, поскольку целесообразнее это понятие считать основным.

Элементы, определяющие вектор, называются координатами или компонентами. Координаты нумеруются слева направо, а их число называется длиной или размерностью вектора. В отличие от элементов множества, координаты вектора могут совпадать. Координаты вектора заключаются в круглые скобки, например . Иногда скобки или запятые опускаются. Часто векторы длины 2 называются упорядоченными парами, длины 3 – тройками и т. д.

Определение. Два вектора равны, если они имеют равную длину и их соответствующие координаты равны. Иначе говоря, векторы и равны, если и .

Определение. Прямым произведением множеств А и В (обозначение ) называется множество всех упорядоченных пар , таких, что . В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат множеству А, такое произведение обозначается А². Аналогично, прямым произведением множеств называется множество всех векторов длины п, таких, что .

Пример 4. Множество - это множество всех упорядоченных пар действительных чисел, геометрической интерпретацией которого служит декартова координатная плоскость.

Координатное представление точек плоскости было впервые предложено Р. Декартом и исторически является первым примером прямого произведения. Поэтому часто прямое произведение множеств называют декартовым произведением.

Пример 5. Даны множества и . Тогда есть множество обозначений клеток шахматной доски.

Вообще конечное множество, элементами которого являются какие-либо символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т. д.) называется алфавитом. Любые элементы множества в этом случае являются словами длины п в алфавите А. Например, десятичное целое число – это слово в алфавите цифр.

Определение. Проекцией вектора на некоторую ось называется его компонента (координата) с соответствующим порядковым номером (обозначается пр_i a). Например, проекция точки плоскости на 1-ю ось есть её абсцисса (первая координата).