Пример 2. а) Функция является отображением множества натуральных чисел в себя (инъективная функция)

а) Функция является отображением множества натуральных чисел в себя (инъективная функция). Эта же функция при всех является отображением множества целых чисел в множество рациональных чисел.

б) Функция является отображением множества целых чисел (кроме числа 0) на множество натуральных чисел. Причём в данном случае соответствие не является взаимно однозначным.

в) Функция является взаимнооднозначным отображением множества действительных чисел на себя.

г) Функция не полностью определена, если её тип , но полностью определена, если её тип или .

Определение. Функция типа называется местной функцией. В этом случае принято считать, что функция имеет аргументов: , где .

Например, сложение, умножение, вычитание и деление являются двухместными функциями на , то есть функциями типа .

Определение. Пусть дано соответствие . Если соответствие таково, что тогда и только тогда, когда , то соответствие называют обратным к и обозначают .

Определение. Если соответствие, обратное к функции является функциональным, то оно называется функцией, обратной к .

Очевидно, что в обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, поэтому для существования обратной функции требуется, чтобы каждый элемент из области значения имел бы единственный прообраз. Это означает, что для функции обратная функция существует тогда и только тогда, когда является биективным соответствием между своей областью определения и областью значений.

Пример 3. Функция имеет тип . Отрезок она взаимно однозначно отображает на отрезок . Поэтому для неё на отрезке существует обратная функция. Как известно, это .

Определение. Пусть даны функции и . Функция называется композицией функций и (обозначается ), если имеет место равенство: , где .

Композиция функций и представляет собой последовательное применение этих функций; применяется к результату .Часто говорят, что функция получена подстановкой в .

Для многоместных функций возможны различные варианты подстановок в , дающие функции различных типов. Особый интерес представляет случай, когда задано множество функций типа: . В этом случае возможны, во-первых, любые подстановки функций друг в друга, а во-вторых, любые переименования аргументов. Функция, полученная из данных функций некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется их суперпозицией.

Например, в математическом анализе вводится понятие элементарной функции, являющейся суперпозицией фиксированного (не зависящего от значения аргумента) числа арифметических операций, а также элементарных функций (и т. п.).

А.Н. Колмогоровым и В.И. Арнольдом доказано, что всякая непрерывная функция переменных представима в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных.

Замечание. Понятие функции широко используется в математическом анализе, более того, является в нём базовым понятием. В целом, подход к пониманию термина “функция” в матанализе несколько уже, чем в дискретной математике. Как правило, в нём рассматриваются так называемые вычислимые функции. Функция называется вычислимой, если задана процедура, позволяющая по любому заданному значению аргумента найти значение функции.