Уравнение количества движения. Второй Закон Ньютона связывает изменение количества движения жидкости с приложенной к ней силой

Второй Закон Ньютона связывает изменение количества движения жидкости с приложенной к ней силой. Изменения имеют вид:

(5.12)

,

где F- сила, v - скорость а m – масса. Здесь мы должны использовать полную производную, так как мы рассчитываем силу для частицы жидкости. Мы можем принять массу постоянной и написать:

(5.13)

,

где f_m – это сила действующая на единицу массы (массовая сила)

Для нас важны четыре силы: градиент давления, сила Кариолиса, сила тяжести и сила трения. Не раскрывая вид этих сил можно записать что:

(5.14)

Ускорение равно отрицательному градиенту давления минус сила Кориолиса плюс сила тяжести плюс другие силы. Здесь g – ускорение силы тяжести; – угловая скорость вращения Земли (2разделить на 24 часа), F_r– сила трения,

В трехмерном пространстве полная производная имеет вид

(5.15)

Принимая во внимание, что для гидравлических задач силы Кориолиса, учитывающие вращение Земли, не являются значимыми, мы не будем их учитывать в дальнейших расчетах.

Раскрыв производные и переписав компоненты уравнения (5.15) в прямоугольной системе координат, получим уравнение движения.

(5.16)

где v_x, v_y, v_z – компоненты скорости по оси x, y, z; Fi – компоненты всех сил трения, действующих по оси x, y, z.

Уравнение (5.16) написано для реальной жидкости. Исключив из него силы трения получим уравнение для идеальной жидкости Эйлера. Луис Мария Генри Навье добавил силы трения и теперь систему (5.16) иногда называют уравнение Навье Стокса.

(5.17)

В гидравлике часто бывает полезным использование интегральной формы для величины количества движения, которая имеет вид:

Формула (5.17) дает количества движения в единицу времени.

(5.18)

В простейшем случае, когда скорости потока одинаковы по сечению (идеальная жидкость), выражение для К.Д. упрощается и имеет вид

5.4. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики. Оно дает связь между давлением P, средней скоростью υ и пьезометрической высотой z в различных сечениях потока и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. С помощью этого уравнения решается большой круг задач.

Рассмотрим трубопровод переменного диаметра, расположенный в пространстве под углом β (рис.5.5).

Рис. 5.5. Схема к выводу уравнения Бернулли для идеальной жидкости

Выберем произвольно на рассматриваемом участке трубопровода два сечения: сечение 1-1 и сечение 2-2. Вверх по трубопроводу от первого сечения ко второму движется жидкость, расход которой равен Q.

Для измерения давления жидкости применяют пьезометры - тонкостенные стеклянные трубки, в которых жидкость поднимается на высоту . В каждом сечении установлены пьезометры, в которых уровень жидкости поднимается на разные высоты.

Кроме пьезометров в каждом сечении 1-1 и 2-2 установлена трубка, загнутый конец которой направлен навстречу потоку жидкости, которая называется трубка Пито. Жидкость в трубках Пито также поднимается на разные уровни, если отсчитывать их от пьезометрической линии.

Пьезометрическую линию можно построить следующим образом. Если между сечением 1-1 и 2-2 поставить несколько таких же пьезометров и через показания уровней жидкости в них провести кривую, то мы получим ломаную линию (рис.5.5).

Однако высота уровней в трубках Пито относительно произвольной горизонтальной прямой 0-0, называемой плоскостью сравнения, будет одинакова.

Если через показания уровней жидкости в трубках Пито провести линию, то она будет горизонтальна, и будет отражать уровень полной энергии трубопровода.

(5.19)

Для двух произвольных сечений 1-1 и 2-2 потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет следующий вид:

Так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то полученное уравнение можно переписать иначе:

(5.20)

и прочитать так: сумма трех членов уравнения Бернулли для любого сечения потока идеальной жидкости есть величина постоянная.

С энергетической точки зрения каждый член уравнения представляет собой определенные виды энергии:

z₁ и z₂ - удельные энергии положения, характеризующие потенциальную энергию в сечениях 1-1 и 2-2;

- удельные энергии давления, характеризующие потенциальную энергию давления в тех же сечениях;

- удельные кинетические энергии в тех же сечениях.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, полная удельная энергия идеальной жидкости в любом сечении постоянна.

Уравнение Бернулли можно истолковать и чисто геометрически. Дело в том, что каждый член уравнения имеет линейную размерность. Глядя на рис. 5.5, можно заметить, что z₁ и z₂ - геометрические высоты сечений 1-1 и 2-2 над плоскостью сравнения;

- пьезометрические высоты;

- скоростные высоты в указанных сечениях.

В этом случае уравнение Бернулли можно прочитать так: сумма геометрической, пьезометрической и скоростной высоты для идеальной жидкости есть величина постоянная.