double arrow

Теорема 1. Неравенство Чебышева

1

Закон больших чисел.

В широком смысле слова закон больших чисел означает, что при большом числе случайных экспериментов средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности (т.е. событие имеет вероятность, близкую к 0 или 1).

В узком смысле под законом больших чисел в теории вероятности понимают ряд теорем, в которых устанавливается факт приближения различных характеристик большого числа опытов к некоторым постоянным (т.е. доказывается, что вероятность отклонения от них стремится к 1).

Пусть X – cлучайная величина с заданными и . Тогда для

. (1)

Неравенство оценивает вероятность того, что отклонение случайной величины X от центра распределения - превзойдет заданное определенное значение. Эта вероятность тем меньше, чем меньше .

Замечание.Оценка получается достаточно грубой, но зато это значение пригодно для любыхслучайных величин.

Пример 1.ПустьX – случайная величина, m = ,. Используя неравенство Чебышева оценить .

Решение: Пусть , тогда . Но если случайная величина распределена по нормальному закону, то P=0,003 (правило «трех сигм»).

Определение:Говорят, что случайная величина сходится по вероятности к а, если при всех достаточно больших n выполняется неравенство:

или: ,

где - произвольное малое положительное число, а зависит от выбора и n.

1

Сейчас читают про: