Расчет на прочность и жёсткость
Рассмотрим брус круглого сечения, нагруженный парами сил в плоскости торцевого сечения (рис.7.7). В поперечных сечениях этого бруса возникает постоянный крутящий.момент
мя сечениями в процессе деформации кручения не изменяется (εz = 0);
3) поперечные сечения в своей плоскости не деформируются, т.е., радиусы не искривляются и не изменяют своей длины, они лишь поворачиваются как жесткие диски (εх=0, εу=0).
На основании этих допущений σх =σу =σz =τху =0, поэтому в поперечных сечениях будут действовать только касательные напряжения τzx и τzу, следовательно, при кручении брус испытывает деформацию чистого сдвига.
Двумя поперечными сечениями выделим из вала элемент длиной dz, а из него затем выделим элементарное кольцо с радиусами ρ и ρ + dρ (рис. 7.8). Будем считать левое торцевое сечение неподвижным, тогда правое торцевое сечение кольца повернется под действием крутящего момента относительно левого на угол dφ. Образующая цилиндра АВ при этом повернётся на угол γ и займет положение . С одной стороны дуга / =ρdφ, с другой - В/ В/ = γdz, следовательно,
|
|
. (7.6)
Угол γ – это угол сдвига цилиндрической поверхности, а величина Θ называется относительным углом закручивания (аналогично).
|
|
Так как , тоУчитывая, что получим
,(а), .
Из последнего выражения следует формула угла закручивания
(7.8)
Если крутящий момент Мк и жесткость вала GІρ по его длине не изменяются, то
|
Вернёмся к выражению (7.7). Используя уравнение (а), получим формулу касательных напряжений при кручении круглого вала
= (7.10)
Согласно этой формуле касательные напряжения в поперечном сечении вала распределяются вдоль радиуса по линейному закону, достигая наибольшей величины в точке наиболее удаленной от оси бруса (рис.7.9).
Согласно (7.10): или .
Введя обозначение(момент сопротивления сечения при кручении), получим
.
Для круглого сечения
Материал вала возле оси недогружен, поэтому применяют пустотелые валы. При равных площадях поперечных сечений и одинаковом крутящем моменте в пустотелом вале напряжения будут меньше, а при равных напряжениях в пустотелом вале крутящий момент будет больше.
Для такого вала ,
где D- наружный диаметр, d – внутренний диаметр вала,,
.
Расчёт на прочность круглого вала может выполняться по двум методам: по допус-каемым напряжениям и по допускаемым нагрузкам. В данном разделе рассмотрим первый метод- метод допускаемых напряжений, так как он наиболее часто используется на практике.
|
|
|
|
состояния определяется выражением
.
Для рассматриваемого случая оно примет вид =.
Для безопасной работы вала должно выполняться условие ,т.е.
, где .
Таким образом, условие прочности при кручении круглого вала запишется формулой:
. (7.11)
Из него следуют формулы для назначения размеров поперечного сечения вала и определения грузоподъёмности:
, (7.12)
Условие жесткости . (7.13)
Произведение GIρ называется жесткостью при кручении. Іρ – полярный момент инерции, G – модуль упругости при сдвиге.
Если вал имеет несколько участков, то угол закручивания φ на всей его длине найдется как сумма углов закручивания на всех участках φi:
φ =∑ φi =∑ (7.14)
Пример: подобрать размеры круглого и кольцевого сечения вала, передающего мощ-ность 80 кВт при числе оборотов n=600об/мин, если , α =. Сравнить массы валов с указанными сечениями.
Мк = , .
Для круглого сечения: , тогда ,
площадь сечения А = .
Для кольцевого сечения: , ,
, площадь сечения А=.
Массы валов будут пропорциональны площадям поперечных сечений , т.е., полый вал будет почти в два раза легче сплошного вала.