Сдвиг и жесткость при кручении

 

Сдвигом называют такой вид напряженного состояния, когда на гранях элемента действуют только касательные напряжения. Деформации, возникающие при сдвиге, называют угловыми деформациями или углом сдвига.

Схема нагружения.

Кручением называют такой вид простого нагружения, при котором внешние пары сил действуют в плоскостях поперечных сечений. Стержень, работающий на кручение, называют валом.

Внутренние усилия.

В поперечных сечениях вала возникает только крутящий момент М _{х .,} который в произвольном поперечном сечении численно равен алгебраической сумме всех внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения и вращающих вокруг продольной оси х.

Между интенсивностью внешнего скручивающего момента m и внутреннего крутящего момента M имеется соотношение

m(x) = dM(x)/dx, (23)

Из геометрического смысла производной (первая производная равна тангенсу угла между касательной к кривой и осью

Рис. 6 Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении и напряжения в наклонных сечениях при кручении

абсцисс) следуют правила для проверки соответствия эпюры крутящих моментов расчетной схеме такие же, как для растяжения.

Напряжения.

При кручении круглого бруса в поперечных сечениях действуют и подлежат определению касательные напряжения, меняющиеся вдоль радиуса по линейному закону:

. (24)

Здесь M _х – внутренний крутящий момент в сечении вала, ρ – полярная координата произвольной точки в поперечном сечении, J ₀ – полярный момент инерции сечения. (Таким образом, в записи формулы использована полярная система координат.)

Наиболее опасными точками сечения вала, в которых действуют наибольшие касательные напряжения, являются точки около наружной поверхности (на контуре сечения), где

Следовательно,

, (25)

где W ₀ – полярный момент сопротивления сечения.

Для кольцевого профиля (труба) снаружным диаметром D ивнутренним d соответствующие характеристики имеют вид

Условие прочности вала имеет вид

(26)

где[ t ] – допускаемое касательное напряжение, которое определяется аналогично допускаемому нормальному напряжению или приближенно [ t ] ≈ (0.5 0.6)[ σ ].

Если необходимо определить диаметр вала из условия прочности (26), то решение проводится относительно момента сопротивления:

. (27)

Перемещения.

Определение полного угла закручивания вала или угла поворота сечения вокруг продольной оси х проводят по закону Гука при кручении:

, (28)

где G (МПа) – модуль упругости материала второго рода (модуль сдвига, модуль Стокса), i – номер участка.

Для валов с переменными параметрами перемещения вычисляются по формуле

.

При расчете валов наряду с выполнением условия прочности может потребоваться выполнение условия жесткости. Условие жесткости заключается в том, что максимальный относительный угол закручивания θ _max, то есть угол приходящийся на единицу длины вала, не должен превышать допустимых значений [ θ ].

(29)

Допустимый относительный угол закручивания устанавливается техническими условиями. Его величина для разных энергетических конструкций и различных режимов работы вала колеблется в достаточно широких пределах:

.

По условию жесткости возможно решение тех же трех вариантов задач, что и по условию прочности.

Расчетное соотношение для определения диаметра вала из условия жесткости приобретает вид:

. (30)

При расчете бруса на прочность (27) и жесткость (30) из двух найденных значений диаметра следует принять то, которое удовлетворяет обоим условиям надежности, то есть большее.

Диаметры вала в местах посадки на него различных деталей (дисков, шкивов, подшипников и т.п.) округляют до ближайшего стандартного значения.

 

Пример 2.

Для заданного вала (рис. 7,а), нагруженного скручивающими сосредоточенными и распределенными моментами, выполнить расчет на прочность и жесткость. Здесь принято М = m l.

1. Реактивный момент.

Вычисляется из уравнения равновесия – по условию равенства нулю суммы моментов относительно оси вращения (10,4):

→

2. Внутренние усилия.

Вал имеет два участка. Следовательно, для построения эпюры внутренних крутящих моментов достаточно два раза применить метод сечений.

Для первого сечения (рис.7,б) для левой части вала уравнение равновесия имеет вид

(на эпюре наклонная прямая).

 

Рис. 7. Кручение (к примеру 2):

а – расчетная схема; б – рассматриваемые отсеченные части;

в – эпюра крутящих моментов; г – эпюра касательных напряжений;

д – эпюра угловых перемещений

 

На первом участке границы изменения x ₁: . Подставляя эти значения, определяют величины моментов на границах участка:

,

Аналогично на втором участке (для левой части вала) = const,

или (для правой части вала) .

Эпюра внутренних крутящих моментов приведена на рис.7,в. Согласно указанным ранее правилам на первом участке она ограничена наклонной прямой, а на втором – прямой параллельной оси.

Из эпюры видно, что максимальное значение момента | M _max| = 2 M (а не 3 M). Именно для этого опасного значения и проводится последующий расчет на прочность.

3. Касательные напряжения.

В рассматриваемом примере эпюра максимальных касательных напряжений (рис. 7,г) качественно повторяет эпюру моментов M _x (рис. 7,в), так как вал имеет постоянное сечение по

длине. Условие прочности проверяется для опасного сечения, которое находится на границе между участками:

Если взять не сплошное, а кольцевое сечение, то при сохранении прежнего значения наружного диаметра, максимальные касательные напряжения существенно увеличиваются. Это объясняется уменьшением момента сопротивления.

Из условия прочности при кручении, как и при растяжении и сжатии, в зависимости от постановки задачи может быть определена допускаемая нагрузка:

В рассмотренном примере ? M _х ?= 2 М. Следовательно, допустимая нагрузка на вал

.

Из условия прочности при кручении в зависимости от постановки задачи может быть определен диаметр вала по (25).

.

3. Угловые перемещения.

Определение полного угла закручивания вала или угла поворота сечения вокруг продольной оси х производят по закону Гука при кручении (28):

.

Для первого участка

, ( на эпюре парабола выпуклостью вверх):

; .

Для второго участка

.

Знаки перед слагаемыми соответствуют знакам внутренних крутящих моментов (рис.7,в). Физически φ ₂ означает угол закручивания второго участка вала– угол поворота сечения В относительно А вокруг продольной оси под действием внешней нагрузки, а φ _ВО означает угол поворота сечения В относительно жесткой связи 0.

Эпюра перемещений приведена на рис. 7,д. На первом участке она ограничена выпуклой к оси абсцисс параболой, а на втором – наклонной прямой. Здесь, как и в случае расчета перемещений при растяжении, для проверки соответствия эпюры крутящих моментов расчетной схеме можно использовать геометрический смысл (по площади) эпюры моментов.

 

Вопросы для самопроверки

1. Что называется абсолютным и относительным сдвигом? 2. Что называется законом парности касательных напряжений при сдвиге? 3. Как формулируется закон Гука при сдвиге? 4. Как связаны между собой модуль продольной упругости, Е, и модуль сдвига, G? 5. Как производится расчет на прочность при сдвиге? 6. Как распределены напряжения в поперечном сечении при сдвиге? 7. Что называют кручением? 8. Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого бруса при кручении? 9. Как определить величину напряжений при кручении? 10. Как определить допустимые напряжения при кручении? 11. Как определить полярный момент инерции и полярный момент сопротивления сечения при кручении? Какова их размерность? 12. Как определить угол закручивания бруса? 13. Как записать условие прочности при кручении? 14. В чем заключается расчет вала на жескость? 15. Как расчитывают валы на сложное сопротивление (изгиб совместно с кручением)?