Формула Эйлера для критической силы

Вывод формулы Эйлера рассмотрим на примере двух опорной балки, нагруженной сжимающей осевой силой F. При F=F_кр балка прогнется. Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси:

, .

здесь I=I_min.

Обозначим, получим дифференциальное уравнение второго порядка без правой части.

(8.1).

Его решение имеет вид:

.

Значения А и В определятся из граничных условий (z = 0 и z=ℓ). В рассматриваемой балке имеем при z=0 y=0; при z=ℓ y=0. Тогда из (8.1) следует

так как , sinkℓ≠0, то В=0, тогда

Asinkℓ=0.

Но A≠0, так как балка не будет иметь прогибов, поэтому

sinkℓ=0, т.е.kℓ=0,, 2π, 3π,…nπ.

Из последнего равенства находим

k²==,

откуда следует формула

,

n≠0, тогда при n=1 получим окончательное выражение для критической силы, называемой формулой Эйлера:

. (8.2)