2014-02-02
1802
На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:
 ,
| (14) |
где 
- диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.
Матрицы Z и Y взаимно обратны.
Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому
 ,
| (15) |
получим:
 ..
| (16) |
Выражение (16) перепишем, как:
 .
| (17) |
Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:
 .
| (18) |
Тогда получаем матричное уравнение вида:
 .
| (19) |
Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить
| (20) |
 ,
| (21) |
то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:
| (22) |
где 
- матрица узловых проводимостей; 
- матрица узловых токов.
В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:
|
|
|
| (23) |
то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.
Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.
| 
|
Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.
Узловая матрица (примем 
)
| А | 
|
Диагональная матрица проводимостей ветвей:
| Y |  ,
|
где 
.
Матрица узловых проводимостей
| 
|
.
Матрицы токов и ЭДС источников
| 
|
| 
|
..Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:
| 
|
.Таким образом, окончательно получаем:
,
где 
; 
; 
; 
; 
.
