Модель с включением запасов

В паутинообразной модели цена устанавливалась так, чтобы поглотить все предложение. Запасы товаров или отсутствовали или оставались неизменными. Модель можно расширить, учитывая наличие запасов. Можно выстроить следующую последовательность событий. Поставки товара вливаются в общую массу запасов, и фактический спрос удовлетворяется за счет запасов. В анализе появляется еще один субъект экономических отношений – продавцы товара. Таким образом, производители поставляют товар продавцам, имеющим запасы и реализующих товар, и покупатели. Действие модели начинается с продажи товара покупателям и установления цены в соответствии с размером запасов.

Для дискретного случая, если величина запасов в конце интервала составляет , то изменение запасов в течение этого интервала равно . В зависимости от особенностей установления цены, зависящей от величины запасов, можно построить несколько моделей.

Модель 1. В период продавцы устанавливают цену . Она больше цены , если в предшествующий период запасы уменьшились. Цена повышается пропорционально сокращению запасов: .

Модель 2. В период цена повышается, если в предшествующий период уровень запасов был ниже равновесного объема . Повышение цены пропорционально нехватке товаров до объема . Цена равна .

Модель 3 рассматривается в непрерывном анализе. В каждый момент времени продавцы устанавливают цену так, что скорость возрастания цены пропорциональна скорости уменьшения запасов:

где - положительная величина. Используем линейные функции спроса и предложения: . Тогда имеем: или

(1.7)

В точке равновесия , поэтому

(1.8)

откуда находим равновесную цену .

Вычитаем из уравнения (1.7) уравнение (1.8), получим: . Введем обозначение , тогда . Уравнение модели приобретает вид: . Обозначим , тогда . В итоге имеем - дифференциальное уравнение относительно .

Используя правило логарифмического дифференцирования, нахождения производной логарифма сложной функции, получим: . Решение имеет вид: . При , . Следовательно, . Зная начальную цену, и подставив ее в функцию предложения, всегда можно найти объем продукции, который надо произвести.

В случае нормальных товаров , , и множитель при , стремится , а . Это справедливо для всех значений . Величина определяет скорость приспособления цены к изменению запасов. Чем больше , тем быстрее приближается к равновесной цене .