Определение. Пересечением двух отношений r1(R1) и r2(R2), совместимых по объединению, называется отношение

Определение

Определение

Пересечением двух отношений r₁(R₁) и r₂(R₂), совместимых по объединению, называется отношение

s = r₁ ∩ r₂, для которого:

a. схема отношения совпадает с R₁ или R₂,

b. реализация отношения представляет множество кортежей, содержащихся и в r₁, и в r₂.

Формальная запись:

Даны r₁(R₁), r₂(R₂), r₁ = {t_1i}, r₂ = {t_2i}, R₁ ≡ R, R₂ ≡ R.

s = r₁ ∩ r₂ = s(R), s = {t_i | t_i ∈ r₁ и t_i ∈ r₂}

Пример:

r1

(A

B

C)

r2

(A

B

C)

s = r1 ∩ r2

(A

B

C)

a1

b1

c1

a1

b2

c1

a1

b2

c1

a1

b2

c1

a2

b2

c1

a2

b1

c2

a2

b2

c2

Свойства операции:

_• коммутативна – r₁ ∩ r₂ ≡ r₂ ∩ r₁

_• ассоциативна – r₁ ∩ (r₂ ∩ r₃) ≡ (r₁ ∩ r₂) ∩ r₃ ≡ r₁ ∩ r₂ ∩ r₃

Операцию пересечения можно выразить через операцию вычитания:

r₁ ∩ r₂ = r₁ – (r₁ – r₂)

Декартово произведение отношений

Здесь отношения r₁(R₁) и r₂(R₂) могут иметь разные схемы, не обязательно совместимые по объединению. Перед выполнением операции декартова произведения необходимо переименовать атрибуты в схемах отношений R₁ или R₂ так, чтобы имена всех атрибутов были разными.

Декартовым произведением двух отношений r₁(R₁) и r₂(R₂), схемы отношений которых не имеют одноименных атрибутов, т.е. R₁ ∩ R₂ = 0, называется отношение s = r₁ × r₂, для которого:

a. схема отношения определяется сцеплением (объединением) схем R₁ и R₂,

b. реализация отношения представляет множество кортежей, которое получается путем сцепления каждого кортежа из r₁ с каждым кортежем из r₂.

Формальная запись:

Даны r₁(R₁), R₁(A₁, A₂, …, A_m), r₂(R₂), R₂(B₁, B₂, …, B_n), r₁ = {t_1i}, r₂ = {t_2i}, R₁ ∩ R₂ = 0

s = r₁ × r₂ = s(R), R(A₁, A₂, …, A_m, B₁, B₂, …, B_n), s = {u_i v_j | u_i ∈ r₁, v_j ∈ r₂}

Пример:

r1

(A

B)

r2

(X

Y

Z)

s = r1 × r2

(A

B

X

Y

Z)

a1

b1

x1

y1

z2

a1

b1

x1

y1

z2

a2

b1

x2

y1

z1

a1

b1

x2

y1

z1

x3

y1

z1

a1

b1

x3

y1

z1

a2

b1

x1

y1

z2

a2

b1

x2

y1

z1

a2

b1

x3

y1

z1

Свойства операции:

_• коммутативна – r₁ × r₂ ≡ r₂ × r₁

_• ассоциативна – r₁ × (r₂ × r₃) = (r₁ × r₂) × r₃ = r₁ × r₂ × r₃

В теории множеств данная операция и не коммутативна, и не ассоциативна, так как в множествах определен порядок перечисления элементов в кортеже. Так как одно из свойств реляционной модели данных – отсутствие упорядоченности атрибутов, данная операция приобретает указанные свойства.

Специальные операции

К специальным операциям реляционной алгебры относятся:

• проекция

• выбор (или селекция)

• соединение

• деление

Специальные операции определены только для нормализованных отношений. В этих операциях, наряду с самими отношениями, участвуют и их атрибуты. В отношениях реляционной модели данных к атрибутам можно обращаться или по имени, или по их позиции в схеме отношений. Мы будем использовать обращение к атрибутам по имени.

Проекция

Данная операция является унарной операцией на отношениях, т.е. в этой операции участвует только одно отношение.

Проекцией отношения r(R), R = {A_i}, на некоторый список имен атрибутов (подмножество атрибутов) L из R, L ⊆ R, называется отношение s = π_L(r), для которого:

• схема отношения определяется списком L,

• реализация отношения есть множество кортежей, полученных из кортежей отношения r путем вычеркивания элементов, соответствующих атрибутам R – L, и исключением дубликатов.

Формальная запись:

Дано r(R), R(A₁, A₂, …, A_m), r = {<t₁ : A₁, t₂ : A₂…, t_m : A_m >}

s(L) = π_L(r), L(B₁, B₂, …, B_k), B_i ⊆ R, s = {<u₁: B₁, u₂: B₂, …, u_k: B_k> | таких, что u_i = t_j, если B_i ≡ A_j}

Пример:

r	(A	B	C	D)		L = (A,B)	πL(r)	(A	B)
	a1	b1	c2	d1				a1	b1
	a1	b1	c1	d2				a2	b1
	a2	b1	c3	d2

Проекция дает вертикальное подмножество отношения.

Свойство проекции:

Если Y ⊆ X ⊆ R, то π_Y(π_X(r)) ≡ π_Y(r)

Выбор

Данную операцию называют еще ограничением и селекцией.

Также является унарной операцией над отношением.