Определение. Даны два отношения r1(R1) и r2(R2), для которых R2 ⊆ R1 и R2 не пусто

Даны два отношения r₁(R₁) и r₂(R₂), для которых R₂ ⊆ R₁ и R₂ не пусто. Частным от деления отношения r₁ на отношение r₂ называется отношение s(R) = r₁ ÷ r₂, для которого:

• схема отношения R = R₁ – R₂,

• реализация отношения есть множество кортежей t таких, что для всех u_i ∈ r₂ существует v_j ∈ r₁ такой, что v_j(R₁ – R₂) = t и v_j(R₂) = u_i.

Формальная запись:

Даны r₁(R₁), r₂(R₂), R₂ ⊆ R₁, R₂ ≠ 0.

s(R) = r₁ ÷ r₂, R = R₁ – R₂, s = {t_j | ∀ u ∈ r₂ (t_ju ∈ r₁)}

Другими словами, s × r₂ ∈ r₁.

Пример:

Действительно, кортежи <bccd>, <bcef>, <edcd> и <edef> есть в отношении r₁. Кортеж <abcd> есть в отношении r₁, но кортежа <abed> нет, поэтому в s нет кортежа <ab>.

Можно написать выражение реляционной алгебры, эквивалентное операции деления:

r₁ ÷ r₂ = π_R1-R2(r₁) – π_R1-R2((π_R1-R2(r₁) × r₂) – r₁)

Примеры

Рассмотрим некоторые примеры написания запросов к базе данных на языке реляционной алгебры.

Пусть дана следующая схема базы данных:

S(S#, SN, SC) – ПОСТАВЩИК (Номер поставщика, Имя, Город)

P(P#, PN, PC) – ДЕТАЛЬ (Номер детали, Название, Цена)

SP(S#, P#, QTY) – ПОСТАВКА ( Номер поставщика, Номер детали, Количество)

1. Получить имена поставщиков, поставляющих деталь с номером P1.

π_SN(σ_{P# =’ P1’}(S SP))

1. Получить имена поставщиков, не поставляющих деталь с номером P1.

π_SN(S) – π_SN(σ_{P# = ‘P1’}(S SP))

2. Получить имена поставщиков, поставляющих только деталь с номером P1.

π_SN(σ_{P# =’P1’}(S SP)) – π_SN(σ_{P# ≠’ P1’}(S SP))

3. Получить имена поставщиков, поставляющих все детали.

π_SN((π_S#,P#(SP) ÷ π_P#(P)) S)

Реляционное исчисление

Общие определения

Реляционное исчисление лежит в основе декларативного подхода к формулировке запроса к базе данных, суть которого заключается в следующем:

Запросу к базе данных соответствует формула некоторой формально-логической теории, которая описывает свойства желаемого результата.

Ответом на запрос служит множество объектов из области интерпретации (которой является база данных), на котором истинна формула, соответствующая запросу.

В качестве такой формально-логической теории используется теория исчисления предикатов первого порядка, в которой формула задается в виде предиката.