Принципы назначения страховых премий

Вопрос о том, какую плату страховая компания должна назначать за то, что принимает на себя тот или иной риск, крайне сложен. При его решения учитывается большое число разнородных факторов: вероятность наступления страхового случая, его ожидаемая величина и возможные флуктуации, связь с другими рисками, которые уже приняты компанией, организационные расходы компании на ведение дела, соотношение между спросом и предложением по данному виду рисков на рынке страховых услуг и т.д. Однако основным обычно является принцип эквивалентности финансовых обязательств страховой компании и застрахованного. В рассматриваемых нами простейших видах страхования, когда плата за страховку полностью вносится в момент заключения договора, обязательство застрахованного выражается в уплате премии . Обязательство компании заключается в оплате убытка . Однако мы не можем выразить принцип эквивалентности обязательств равенством , поскольку премия – детерминированная величина, а убыток – случайная.

Чтобы решить эту проблему, попробуем заменить случайную величину ее средним значением , т.е. назначим в качестве платы за страховку ожидаемую величину убытка.

Оценим теперь последствия этого решения для возможности выполнения компанией своих обязательств, т.е. подсчитаем вероятность разорения (в рамках рассматриваемой модели).

Пусть, как мы определили ранее, – число договоров в портфеле компании, случайные величин выражают убытки по этим договорам, – величина суммарного убытка. Поскольку мы решили в качестве платы за -й договор взять , резервный фонд компании равен

Поэтому вероятность разорения есть

Применяя гауссовское приближение, мы получим:

Конечно, это совершенно неприемлемая величина вероятности разорения. Это и не удивительно, т.к. равенство на самом деле не выражает эквивалентности обязательств компании и застрахованного. Хотя в среднем и компания, и застрахованный платят одну и ту же сумму, компания имеет риск, связанный с тем, что в силу случайных обстоятельств её, может быть, придется выплатить гораздо большую сумму, чем . Застрахованный же такого риска не имеет. Поэтому было бы справедливо, чтобы плата за страховку включала некоторую надбавку , которая служила бы эквивалентом случайности, влияющей на компанию. Итак, назначим в качестве платы за -ю страховку сумму, где - некоторая добавочная сумма. Теперь резервы компании есть

где

Соответственно вероятность разорения компании равна

Применяя гауссовское приближение, мы получим:

Если мы хотим, чтобы вероятность неразорения компании была (– некоторое число, близкое к 1), то должно равняться квантили , т.е.

Поскольку описывает величину случайных флуктуаций суммарного ущерба вокруг его среднего значения, добавочная сумма действительно в некотором смысле является компенсацией страховой компании за то, что она взяла на себя опасности, связанные с непредсказуемостью убытков.

Уравнение дает величину общей добавочной суммы . Теперь мы должны решить, как справедливым образом разделить ее между всеми договорами.

Обычно сумму делят пропорционально ожидаемому убытку , т.е. полагают

Поскольку известны и , коэффициент пропорциональности дается формулой:

Соответственно для премии мы имеем:

Основной вклад в величину обычно дает , которую мы ранее назвали нетто-премией. Добавочную сумму называют страховой (или защитной) надбавкой, а – относительной страховой надбавкой. В рассматриваемом случае относительная страховая надбавка одна и та же для всех договоров. Однако назначение индивидуальных премий по данному правилу не совсем справедливо по отношению к договорам с малыми флуктуациями возможного ущерба, т.е. с малыми дисперсиями (если нетто-премия велика). Эти договоры оплачивают случайности, связанные с другими договорами. Имея в виду то, что суммарная надбавка связана именно с суммарной дисперсией , было бы справедливо делить на части , пропорциональные дисперсиям или средним квадратическим отклонениям , т.е. требовать, чтобы