Сущность и разновидности договоров перестрахования

Перестрахование.

Физические и юридические лица заключают договор страхования со страховыми компаниями для того, чтобы избавиться от финансовых потерь, связанных с неопределенностью наступления тех или иных случайных событий. До заключения договора страхования клиент имел некоторый риск, который мог привести к случайным потерям (а мог и не привести к ним). После заключения договора страхования, клиент избавился от этого риска (за неслучайную плату ). Иными словами, клиент идет на небольшие детерминированные расходы с тем, чтобы избавиться от случайных потерь, которые хоть и маловероятны, но могут быть катастрофически большими для него. Однако, сам риск не исчез – его приняла на себя страховая компания. Другое дело, что, имея большой портфель договоров, страховая компания обеспечивает себе крайне малую вероятность разорения. Тем не менее, возможны очень большие иски, которые приведут к разорению компании. С этой точки страховая компания попадает в ту же ситуацию, в которой первоначально (до заключения договоров страхования) находились ее клиенты – существует опасность финансовых потерь, связанная с неопределенностью предъявления очень больших исков.

Для решения этой проблемы страховые компании прибегают к средству – страхованию своего риска в другой компании. Такой вид страхования называется перестрахованием.

Компания, непосредственно заключающая договора страхования и желающая перестраховать часть своего риска, называется передающей компанией, а компания, которая страхует исходную страховую компанию, называется перестраховочной компанией.

При перестраховании могут перестраховываться как чрезмерно большие индивидуальные иски, так и суммарный иск за определенный период, допустим, один год.

Деление договоров перестрахования на различные типы связано с видом разделения ответственности между передающей и перестраховочной компанией.

Если передающая компания самостоятельно удовлетворяет некоторую долю , , от каждого иска, а перестраховочная компания - оставшуюся долю , то такой вид перестрахования называется пропорциональным. Параметр называется пределом удержания.

Предположим теперь, что передающая компания самостоятельно оплачивает все иски вплоть до некоторого предела рублей, а для исков, превышающих , оплачивает сумму самостоятельно и предъявляет иск на оставшуюся сумму к перестраховочной компании. Если это правило применяется к каждому индивидуальному иску, то такой вид перестрахования называется перестрахованием превышения потерь. Параметр называется пределом удержания. Если же это правило применяется к общему иску за некоторый период, то такой вид перестрахования называется перестрахованием, останавливающим потери. Параметр в этом случае называется франшизой.

Перестраховочная компания принимает на себя риск от передающей компании за определенную плату. В сущности, для перестраховочной компании операция выглядит как обычное страхование. Поэтому плата за перестрахование устанавливается на тех же принципах, что и премии для обычного страхования, т.е. плата за перестрахование риска равна , где – ожидаемый иск к перестраховочной компании, а – относительная страховая надбавка, установленная перестраховочной компанией.

Мы будем рассматривать договора перестрахования только с точки зрения передающей компании. Поэтому будем считать, что относительная страховая надбавка, установленная перестраховочной компанией фиксирована. Основная проблема будет заключаться в выборе договора перестрахования и, прежде всего, в выборе основного числового параметра договора – предела удержания, оптимального с точки зрения передающей компании.

Перестрахование в модели индивидуального риска

Модель индивидуального риска – это простейшая модель функционирования страховой компании, предназначенная для расчета вероятности разорения. Она базируется на следующих упрощающих предположениях:

- анализируется фиксированный относительно короткий (так что можно пренебречь инфляцией и не учитывать доход от инвестирования) промежуток времени – обычно это один год;

- число договоров страхования фиксировано и неслучайно;

- плата за страховку полностью вносится в начале анализируемого периода; никаких поступлений в течение этого периода нет;

- мы наблюдаем каждый отдельный договор страхования и знаем статистические свойства связанного с ним индивидуального иска (поскольку не все договора приводят к иску, некоторые их случайных величин , где – иск от -го договора равны нулю).

В рамках этой модели разорение определяется суммарным иском к страховой компании. Если этот суммарный иск больше, чем резервы компании , то компания не сможет выполнить свои обязательства и разорится. Поэтому вероятность разорения компании равна

.

Другими словами, вероятность разорения – это дополнительная функция распределения величины суммарного иска к компании за рассматриваемый промежуток времени.

Пропорциональное перестрахование

После перестрахования суммарный иск к передающей компании, который был равен , уменьшается и становится равным . Однако одновременно уменьшается и капитал передающей компании. До заключения договора перестрахования он был равен , где – начальный фонд, а – относительная страховая надбавка. Заключение договора перестрахования приводит к выплате перестраховочной компании суммы , где – ожидаемый суммарный иск к перестраховочной компании, а – относительная страховая надбавка, установленная перестраховочной компанией. Поэтому после заключения договора перестрахования резервный фонд компании становится равным

.

Соответственно, вероятность разорения становится равной

.

Если , то при уменьшении предела удержания от 1 (отсутствие перестрахования) до 0 (полное перестрахование) вероятность разорения убывает от первоначального значения . Однако, одновременно уменьшается и ожидаемый доход передающей компании

.

При этом в случае при полном перестраховании компания в действительности будет иметь убыток величиной . В этом случае, очевидно, параметр не может быть меньше, чем (при этом значение ожидаемый доход равен 0).

Итак, если , то за счет перестрахования можно уменьшить вероятность разорения (с одновременным уменьшением ожидаемого дохода).

Если , то при уменьшении предела удержания вероятность разорения возрастает и поэтому от перестрахования нужно отказаться.

И, наконец, если , то вероятность разорения вообще не зависит от предела удержания. Однако, поскольку ожидаемый доход убывает вместе с уменьшением предела удержания, в этом случае от перестрахования также лучше отказаться.

Перестрахование превышения потерь

В случае заключения договора перестрахования превышения потерь, иск превращается в иск к передающей компании и в иск к перестраховочной компании.

Предположим, что уступающая компания перестраховала однотипных договоров, т.е. иски по ним являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами.

Тогда суммарный иск к передающей компании, который был равен , уменьшается и становится равным . Однако, одновременно уменьшается и капитал передающей компании. До заключения договора перестрахования он был равен (для простоты учитываем только плату за страховки):

,

где – нетто-премия, а – относительная страховая надбавка. Заключение договора перестрахования приводит к выплате перестраховочной компании суммы , где – ожидаемый индивидуальный иск к перестраховочной компании, а – относительная страховая надбавка, установленная перестраховочной компанией. Поэтому после заключения договора перестрахования капитал передающей компании становится равным

.

Соответственно, вероятность разорения становится равной

.

Используя гауссовское приближение, можем записать вероятность разорения после перестрахования как

.

Ясно, что минимизация вероятности разорения означает максимизацию аргумента у функции . Таким образом, чтобы решить вопрос о целесообразности перестрахования, и в случае положительного ответа выбрать оптимальный предел удержания , мы должны изучить поведение следующей функции от :

и определить ее глобальный максимум при . Отметим, что если этот максимум достигается при , то перестрахование нецелесообразно; если же при , то нужно перестраховывать все.