Ориентация СК звеньев относительно базовой СК устанавливается с ипотльзованием систем координат звеньев по матрицам t0i. Первые столбцы этих матриц – проекции ортов осей X СКi на оси базовой СК. Вторые столбцы - проекции ортов осей Y СКi на оси базовой СК. Третьи - проекции ортов осей Z СКi на оси базовой СК. Элементы матриц t0j – косинусы углов между одноименными осями СК звеньев и базовой СК.
На практике не удобно определять относительную ориентацию осей СК, рассматривая значения косинусов углов между осями соответствующих СК. В этой связи для определения взаимной ориентации осей СК применяется параметры, более привычные для восприятия. Представление об окружающеей действитиельности человеку более удобно отображать в форме расстояний и углов. Выше мы получили формулы для расчета линейных координат точек на звеньях. Однако эти данные не полностью отражают положение звена ИМ МР в пространстве. Для полного представления о положении звена ИМ нужно определить также ориентацию СК звена относительно базовой СК в удобном для восприятия виде. В Теоретической Механике для этого предложено применять угловые координаты. Для определения ориентации звеньев СК звеньев относительно базовой СК применяются углы Эйлера.
|
|
Предполагается, что связанная со звеном СК повернута из исходного положения, совпадающего с инерциальной СК, до ее фактического положения в результате выполнения трех поворотов. Каждый из поворотов осуществляется на определенный угол. Тогда информация о взаимной ориентации двух СК может быть представлена в виде трех углов.
Преобразование поворота подвижной СК{uvw} относительно трех осей инерциальной СК{xyz} представляется в виде композиции из трех элементарных поворотов:
- ось u, угол P itch,
- ось v`, угол Y aw,
- ось w``, угол R oll (см. выше п.1.6.2):
t xyz, uvw = t xyz, uvw (ось u, угол P itch) t xyz, uvw (ось v`, угол Y aw) t xyz, uvw (ось w``, угол R oll)
Таким образом для определения орентации СКi относительно базовой СК0 используются значения трех углов (R, Y, P).
Рассмотрим выражения для определения углов (R, Y, P). С одной стороны,
t 0i = t 0i (ось u, угол P itch) t 0i (ось v`, угол Y aw) t 0i (ось w``, угол R oll).
С другой стороны,
j | t11 t12 t13 |
t0j = П tk-1 k = | t21 t22 t23 |,
k=1 | t31 t32 t33 |
причем значения tk-1 k нам известны; поэтому известны и t0j.
Полагая известными t0i, найдем значения углов R, Y, P. Для этого вначале представим предпоследенее соотношение в виде
t 0i T (ось u, угол P) t 0i = t0i (ось v`, угол Y) t0i (ось w``, угол R).
Выполняя действия, предписанные последним соотношением, получим
| 1 0 0 | | t11 t12 t13 | | cos Y 0 sin Y || cos R -sin R 0 |
| 0 cos P sin P | | t21 t22 t23 | = | 0 1 0 || sin R cos R 0 |.
| 0 -sin P cos P | | t31 t32 t33 | | -sin Y 0 cos Y || 0 0 1 |
|
|
Выполняя соответствующие действия, получим (для краткости знак подчеркивания опущен),
|t11 t12 t13 | | cosYcosR -cosYsinR sinY|
|t21 cosP+t31 sinP t22cos P+t32sin P t33sinP+t23cosP| = | sinR cosR 0 |.
|t32cosP-t22sinP -t22sinP+t32cosP -t23sinP+t33cosP| |-sinYsinR sinYcosR cosY|
Здесь и ниже мы обозначили угол Р = угол P, Y = угол Y, R = угол R.
Сравнив элементы. 32 матриц в левой и правой части, видим, что
t23 cos P+ t33 sin P = 0,
откуда
sin P / cos P = - t23 / t33 и
Р = Arctg (- t2 3/ t33).
Далее сравним элементы. 13 и.33 матриц:
sinY = t13 , cosY = - t23 sinP + t33 cos P и
Y = Arctg (t13 / (-t23 sinP + t33 cos P)).
Наконец, расмотрим элементы.21 и.22 :
sinR = t21 cos P + t31 sin P, cosR = t22 cos P + t32 sin P и
R = Arctg ((t21 cos P + t31 sin P) / (t22 cos P + t32 sin P)).
ПРИМЕР
1. Определить геометрические параметры звеньев ИМ КМР ERA, приведенного на рис.
Вводим СК звеньев как описано выше
- оси Х, - оси Y, - оси Z
n = 7, s1 – 7 = 1.
В соответствии с чертежом и введенными СК получим
l1 = (0.5 0 0)T l2 = (0 1.0 0)T l3 = (0 4.15 0)T
l4 = (0 4.15 0)T l5 = (1.0 0 0)T l6 = (0 0 0.5)T l7 = (0 0 0.74)T
a1 = -900, b1 = 0, g1 = -900 a2 = -900, b2 = 0, g2 = -900
a3 = b3 = g3 = 00 a4 = b4 = g4 = 00 a5 = 00, b5 = 900, g5 = 900
a6 = 0, b5 = 900 , g6 = 900 a7 = b7 = g7 = 00
2. Найдем выражения для расчета матриц перехода между СК звеньев
e1 = t10 (0) = (0-10 (100 = (001
100 00-1 100
001) 010) 010)
e2 = t21 (0) = e1 = (001, 100, 010)
e3 = t32 (0) = E,
e4 = t43 (0) = Е,
e5 = t54 (0) = (010
100)
e6 = t65 (0) = e5
e7 = t76 (0) = Е.
t01 = (Cq1 -Sq1 0, Sq1 Cq1 0, 0 0 1) eT1 =
(Cq1 -Sq1 0 (010 (0 Cq1-Sq1 ,
Sq1 Cq1 0 001 0 Sq1 Cq1
0 0 1) 100) = 1 0 0).
t12 = (Cq2 -Sq2 0, Sq2 Cq2 0, 0 0 1) eT2 =
(Cq2 -Sq2 0, Sq2 Cq2 0, 0 0 1) (010, 001, 100) =
(0 Cq2 -Sq2, 0 Sq2 Cq2 0, 1 0 0).
t23 = (Cq3 -Sq3 0, Sq3 Cq3 0, 0 0 1) eT3 =
(Cq3 -Sq3 0, Sq3 Cq3 0, 0 0 1) (100, 010, 001) =
(Cq3 -Sq3 0, Sq3 Cq3 0, 0 0 1).
t34 = (Cq4 -Sq4 0, Sq4 Cq4 0, 0 0 1) eT4 =
(Cq4 -Sq4 0, Sq4 Cq4 0, 0 0 1) (100, 010, 001) =
(Cq4 -Sq4 0, Sq4 Cq4 0, 0 0 1).
Вычислим далее по аналогии
t45 = (-Sq5 0 Cq5 , Cq5 0 Sq5 , 0 1 0).
t56 = (-Sq6 0 Cq6 , Cq6 0 Sq6, 0 1 0).
t67 = (Cq7 -Sq7 0, Sq7 Cq7 0, 0 0 1).
НИЖЕ ОШИБКА t67
ПРОСЬБА ЗАМЕНИТЬ НА ФОРУЛЫ Е.ФЕОКТИСТОВОЙ
3. Найдем теперь выражения для расчета координат векторов, связывающих начала базовой СК и начала СК звеньев
t1(0)(0) = t01 l1 = (0 0 0.5)T
t2(0)(0) = t01 l1 + t02 l2 = (0 0 0.5)T + (Cq1 Sq2 Sq1Sq2 Cq2)T
t3(0)(0) = t01 l1 + t02 l2 + t03 l3 = (0 0 0.5)T + (Cq1 Sq2 Sq1Cq2 Cq2)T +
4.15 (Sq1 Sq3 + Cq1 Sq2 Cq3 -Sq3 Cq1 + Sq1 Sq2 Cq3 Cq2 Cq3)T
t4(0)(0) = t01 l1 + t02 l2 + t03 l3 + t04 l4 = (0 0 0.5)T + (Cq1 Sq2 Sq1Sq2 Cq2)T +
4.15 (Sq1 Sq3 + Cq1 Sq2 Cq3 -Sq3 Cq1 + Sq1 Sq2 Cq3 Cq2 Cq3)T +
4.15 ((-Sq1 Cq3 + Cq1 Sq2 Sq3) - Sq4 + (Sq4 Sq3 + Cq1 Sq2 Cq3) Сq4)
(Cq1Cq3 + Sq1 Sq2 Sq3) - Sq4 + (- Sq3Cq1 + Sq1 Sq2 Cq3) Cq4
- Cq2 Sq3 Sq4 + Cq2 Cq3 Cq4 )T
…
4. В некотором положении ИМ элементы матрицы t07 имеют следующие значения
Вычислим значения углов Эйлера, заданных в последовательности поворотов СК7 последовательно вокруг осей Х, Y, Z базовой СК.
В соответствии с приведенными выше формулами будем иметь
P = Arctg (- t23 / t33 ) = Arctg () = Arctg (1 / ) = 300
Y = Arctg (t13 / (- t23 SinP + t33 cos P)) = Arctg () =
Arctg () = Arctg () = 600
R = Arctg ((t21 cos P + t31 sin P) / (t22 cos P + t32 sin P)) =
= Arctg (= Arctg = Arctg() = 300
ПРОВЕРКА
=